Cours, Chapitre de Mathématiques de niveau Terminale

Les suites réelles








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Suites Réelles


Dans ce chapitre I désigne l’ensemble des entiers n n (n ℕ) 0 0

I. Rappels et compléments

1. Suite arithmétique

Définition
Soit (u ) une suite réelle définie sur I. n
On dit que (u ) est une suite arithmétique s’il existe une constante réelle r n
telle que pour tout entier n de I, uuuu uuuu ==== rrrr . nnnn ++++1111 nnnn
On dit dans ce cas que (u ) est une suite arithmétique de raison r n

Conséquences
Soit (u ) une suite arithmétique de raison r et de premier terme u n 0
Pour tout entier naturel n, uuuu ==== uuuu ++++ nnnnrrrr . nnnn 0000
Pour tous entiers naturels p et q on a : u = u + (p q)r . p q
Pour tous entiers naturels p et q tels que p q, on a :
q p+ 1
u + u + ? ? ? +u = (u +u ) p p +1 q p q
2
2. Suite géométrique

Définition
Soit (u ) une suite réelle définie sur I. n
On dit que (u ) est une suite géométrique s’il existe une constante réelle q n
telle que pour tout entier n de I, uuuu ==== qqqquuuu . nn ++11 nnnn ++11 nn
On dit dans ce cas que (u ) est une suite géométrique de raison q n

Conséquences
Soit (u ) une suite géométrique de raison non nul q et de premier terme u n 0
nnnn
Pour tout entier naturel n, uuuu ==== uuuu qqqq . nnnn 0000
n m
Pour tous entiers naturels n et m on a : u = u q . n m
Pour tous entiers naturels m et n tels que n m, on a :
m n+ 1 1 q
u si q 1 p
u + u + ? ? ? +u = 1 q n n +1 m
((mmmm nnnn++++ 1111)) uuuu ssssiiii qqqq==== 1111(( )) 0000
+ si q > 1
1 si q = 1n lim q = 
n + 0 si -1 < q < 1
nn''eexxiissttee ppaass ssii qq 11nn''eexxiissttee ppaass ssii qq 11
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¥---¥fi¥---£„¥-¥---fi‡-----„£„£-£-£-˛--£--„-------¥-fi----¥-fi-¥Exercice 1
nu + 4nOn considère la suite u définie par u = 1 et u = . ( )n 1 n +1
n + 1
1. Démontrer que la suite v définie par v = n u est une suite ( )n n n
arithmétique dont on précisera le premier terme et la raison.
2. En déduire l’expression de v en fonction de n, puis l’expression de u en n n
fonction de n.

Solution
1. v v = (n+ 1)u nu = nu+ 4 n=u 4 ⇒ (v ) est une suite n +1 n n +1 n n n n
arithmétique de raison r=4 et de premier terme v = 1 ?u =1 1 1
v 4n 3* n2. n ℕ , =v +v (n =1)r + 1 4(n= 1) 4n 3 e=t u = . n 1 n n n
Exercice 2
3u 2nSoit a > 1 et (u ) la suite définie par u = a et n ℕ, u =
n 0 n +1 2u 1n
1. Montrer que pour tout entier naturel n, (u ) existe et vérifie u > 1.
n n
1
2. On définit la suite (v ) sur ℕ par : v = .
n n
u 1n
a) Montrer que (v ) est une suite arithmétique dont on précisera la raison
n
et le premier terme.
b) Exprimer v et puis u en fonction de n et a. n n

Solution
1. On procède par récurrence
• Pour n=0, on a u = a > 1, vrai 0
• Soit n ℕ , supposons que u existe et u > 1 et montrons que u existe n n n +1
et u > 1. n +1
u > 1 ⇒ 2u > 2 ⇒ 2u 1> 1 ⇒ 2u 1 0 ⇒ u existe n n n n n +1
3u 2 3u 2 2+u 1 u 1n n n nu 1= =1 =n +1
2u 1 2u 1 2u 1 n n n
u > 1 donc 2u 1> 0 et u >1 0 donc u > 1 0 d'où u> 1.n n n n +1 n +1
2u 1 2u 1 2(u 1)1 1n n n2. a) v = = ⇒ v v = = = 2 n +1 n +1 n
u 1 u 1 u 1 u 1 u 1n +1 n n n n
Ce qui prouve que (v ) est une suite arithmétique de raison 2 n
1 1
Son premier terme v = = . 0
u 1 a 1
0
1 2(a 1)n+ 1
b) v = v + nr = + 2n = n 0
a 1 a 1
1 a 1 a+ 2(a 1)n
u = + 1 = + 1 = n
v 2(a 1)n+ 1 2(a 1)+n 1
n


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-------˛-"-----„-------˛------------------"---˛--Exercice 3 (suite Arithmético-géométrique)
1
Soit (u ) la suite réelle définie par : u = 1 et n ℕ, u = u 3 n 0 n+1 n
2
Pour tout entier naturel n, on pose v = u + 6. n n
1. Montrer que (v ) est une suite géométrique dont on précisera la raison et n
le premier terme.
2. Exprimer v et puis u en fonction de n n n
2n
3. Calculer, en fonction de n, la somme S = u . ∑ k
k =n
Solution
1 1 1 1
1. v = u + 6 = u 3 + 6= u + 3= (u + 6)= v n +1 n +1 n n n n
2 2 2 2
1
Donc (v ) est une suite géométrique de raison q = et de premier terme n
2
v = u + 6 = 7. 0 0
n n
1 1   n
2. v = v q = 7 et u = v 6= 7 6 n 0   n n  
2 2   
2n n+ 1
1 
1  2n 2n 2n 2 
3. S = u = (v 6)= v 6(2n +n =1) v +6(n 1) ∑ ∑ ∑k k k n 1k =n k =n k =n 1
2
n n +1 1 1   
Donc S = 14 1 6(+n 1)     
2 2     

3. Convergence et divergence d’une suite

Définition
Soit (u ) une suite réelle définie sur I. n
On dit que (u ) est ccccoooonnnnvvvveeeerrrrggggeeeennnntttteeee (ou encore admet une limite finie) s’il existe n
un réel l vérifiant : Pour tout réel > 0, il existe p ℕ tel que pour tout
entier n I ,n p ⇒ u l< n
Autrement dit, tout intervalle ouvert de centre l contient tous les termes de la
suite à partir d’un certain rang.
Parfois on dit, tout intervalle ouvert de centre l contient pprreessqquuee tous les pprreessqquuee
termes de la suite.

Remarques

Une suite qui n’est pas convergente est dite ddddiiiivvvveeeerrrrggggeeeennnntttteeee (admet une
limite infinie ou n’admet pas de limite)
Si une suite (u ) admet une limite finie l alors cette limite est unique n
et on note dans ce cas lim u = l ou tout simplement lim u = l n n
n +


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-˛-e-----‡¥fi-----˛e-˛"-Exemple
2n 5
Soit la suite (u ) définie surℕ par : u = . n n
n + 1
Montrons que (u ) converge vers 2. n
--------------------------------------------------------
Soit > 0, montrons qu’il existe un entier naturel p tel que pour tout entier
naturel n, n p ⇒ u 2< n
2n 5 2n 5 2n 2 7 7 7
u 2= =2 = < ? +n >1 ? >n 1 n n + 1 n + 1 n + 1
7 7 
Il suffit alors de choisir p = E 1 + 1 si 1> 0 (E désigne la partie entière)  
 
7  7  
ou p=1 si 1< 0 et pour le dire en un seul mot p = sup 1, E 1 + 1 .    
  
7 7
Ainsi on a : n p> 1 ⇒ < ⇒ u 2< n
n+ 1
Définition
On dit qu’une suite (u ) tend vers + et on note lim u = + si pour tout n n
réel A > 0, il existe p ℕ , tel que pour tout entier n I , n p ⇒ u > A. n
Autrement dit, tout intervalle de la forme A, + contient tous les termes ] [
de la suite à partir d’un certain rang p.
On dit qu’une suite (u ) tend vers et on note lim u = si pour tout n n
réel A < 0, il existe p ℕ , tel que pour tout entier n I , n p ⇒ u < A. n
Autrement dit, tout intervalle de la forme , A contient tous les termes ] [
de la suite à partir d’un certain rang p.

Exemple
2
Soit (u ) la suite définie sur ℕ par : u = 2n 1 n n
Montrons que lim u = + . n
-------------------------------------------------------------------------
Soit A > 0, montrons qu’il existe un entier p tel que pour tout entier n I ,
n p ⇒ u > A. n
A + 1 A + 12 2 2u > A ? 2n >1 ?A 2>n +A ? 1 > n ? > n car n ℕ . n
2 2
 A + 1
il suffit alors de choisir p = E + 1.   2 
4. Opérations sur les suites converge