Concours de Mathématiques de niveau Terminale

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Avec correction. Concours geipi 2011- eni - polytech
Concours en Mathématiques (2011) pour Terminale S, GEIPI

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SUJET DE MATHEMATIQUES Mercredi 11 mai 2011 Epreuves communes ENIGEIPIPOLYTECH Nous vous conseillons de répartir équitablement les 3 heures d’épreuves entre les sujets de mathématiques et de physiquechimie. La durée conseillée de ce sujet de mathématiques est de 1h30. L’usage d’une calculatrice est autorisé. Tout échange de calculatrices entre candidats, pour quelque raison que ce soit, est interdit. Aucun document n’est autorisé. L’usage du téléphone est interdit.Vous ne devez traiter que 3 exercices sur les 4 proposés. Chaque exercice est noté sur 10 points. Le sujet est donc noté sur 30 points. Si vous traitez les 4 exercices, seules seront retenues les 3 meilleures notes.

Ne rien inscrire cidessous 1 2 3 4 TOTAL

Lesujetcomporte8pagesnum´erote´esde2`a9

Ilfautchoisiretre´aliserseulementtroisdesquatreexercicespropose´s

EXERCICE I Donnerlesr´eponses`acetexercicedanslecadrepr´evu`alapage3

Onseplacedansleplancomplexerapporte´aurepe`re(O;v~u~ , ),d´ermnot.ecirohtro Soient les pointsAetBd’aﬃxes respectives :

zA= 1

zB= 3−2i

Pour tout complexez, on pose : ′ z=iz+ 1−i ′ ′ Onconsid`erelafonctionFtuopnitqui,`atoMd’aﬃxez, associe le pointMd’aﬃxez.

I1

I2

2a

2b

2c

2d

I3

I4

I5

5a

5b

5c

5d

I6

2/9

PlacerAetB’lnoqeeu`lteocpmsﬁgururlaxe’leder.ecicreurufaaersume`aet

Danscettequestion,onconsid`ereunpointMid,re´ﬀtdeneA, donc d’aﬃxez6= 1. ′ z−1 De´terminerlecomplexeZ=. z−1 De´terminerlemodule|Z|et un argumentarg(Z)deZ. −−→−−→ ′ ′ ExprimerAMen fonction deAMglanl’ereD.e´etmrni(AM , AM).

End´eduirela caracte´ristiques.

nature

fonction

pre´cisera

tous

ses

´el´ements

′ ′ D´eterminerlesaﬃxeszAetzBdes imagesAetBparFdes pointsAetB. ′ ′ ′ SoitCle point dont l’image par la fonctionFest le pointCd’aﬃxezC=−3−3i. ′ De´terminerl’aﬃxezCdu pointC. Justiﬁer le calcul. ′ ′ Dessiner les trianglesABCetACBsur la ﬁgure deI1.

′ Ond´esigneparIle milieu du segment[BC].

′ De´terminerl’aﬃxezIdu pointI. Dans le triangleABCe´eamandiart,lrecDissue deA. −→−−→ ′ D´eterminerlesaﬃxesdesvecteursAIetCB.

′ D´eterminerlapositionrelativedesdroites(AI)et(CB).Onjustieﬁaral´rpenoes.

′ Querepre´senteladroiteDpour le triangleACB?

′ ′ On noteDl’image de la droite(AI)par la fonctionF´e.DetmrnireDet tracer ′ Dsur la ﬁgure deI1.

GEIPIPOLYTECHENIT 2011 MATHEMATIQUES

I1

I2a

I2b

I2c

I2d

I3

I4

I5a

I5b

I5c

I5d

I6

|Z|=

′ AM=

est

zA= ′

zC=

REPONSES A L’EXERCICE I

zI= −→ aﬃxe deAI:

′ Les droites(AI)et(CB)sont

Dest

′ Dest

GEIPIPOLYTECHENIT 2011 MATHEMATIQUES

arg(Z) =

−−→−−→ ′ (AM , AM) =

car

zB= ′

−−→ ′ aﬃxe deCB:

car

3/9

EXERCICE II Donnerlesre´ponsesa`cetexercicedanslecadrepr´evua`lapage5

Onconsid`erelafonctionfrtuotruop,einﬁe´d´eelx, par

2x x f(x) =e−4e+ 3

SoitClcatnesr´taenrboueperfpernere`dusna(O;~ı , ~)orthonomre´.

II1a

1b

1c

II2a

2b

2c

2d

II3

II4

II5

II6a

6b

4/9

D´eterminerlimf(x)snop.eﬁerlar´e.Justi x→+∞ D´eterminerlimf(x)e´oplrraiteﬁJ.sunse. x→−∞ Onend´eduitqueCadmet, au voisinage de−∞, une asymptoteΔdont on donnera unee´quation.

′ ′ fde´edngisdaleire´ee´vfD´et.nerermif(x).

Pourtoutr´eelx,

′ f(x)’´suostirceemr:ofals

Donner l’expression deg(x).

Dresser le tableau de variation de la fonctionf.

′x f(x) =g(x) (e−2).

fr´pntupoiumamiminetnuseneM(xM, yM). D´eterminerlescoordonne´es(xM, yM)deMaccllued.D´etaillerleyM.

Une des deux courbesC1etC2etalseneitnoofcnlaﬁgssurepr´urerdee´nissef. Laquelle?Justiﬁervotrer´eponse.

De´terminerune´equationdelatangenteT0`lacaourbeCau point d’abscisse0. TracerT0sur la ﬁgure deII3.

La courbeCcoupe l’asymptoteΔen un pointE.

D´eterminerlescoordonn´ees(xE, yE)du pointEesrllccas.ulD.e´atliel Z ln(4) SoitJ:rapeinﬁnei´’dlgeel´atrJ= (3−f(x))dx. 0 Calculer la valeur deJen justiﬁant le calcul.

Sur la ﬁgure deII3, placer le pointEet hachurer la partie du plan dont l’aire, exprim´eeenunit´esd’aire,vautJ.

GEIPIPOLYTECHENIT 2011 MATHEMATIQUES

II1a

II1b

II1c

II2a

II2c

II2d

II3

II4

II5

II6a

II6b

REPONSES A L’EXERCICE II

limf(x) = x→+∞

limf(x) = x→−∞

Δ :

′ f(x) =

x ′ f(x)

f(x)

xM=

xE=

−∞

yM=

Utiliser la ﬁgure deII3.

GEIPIPOLYTECHENIT 2011 MATHEMATIQUES

C 1

~ j

car

~ i

yE=

C 2

II2b

+∞

car

g(x) =

car

5/9

EXERCICE III Donnerlesre´ponsesa`cetexercicedanslecadrepre´vua`lapage7

Unfabricantdejouetsvendunmod`eledepoup´eequi”parleetmarche”grˆacea`unm´ecanisme ´electronique. Onappelle“dur´eedevie”d’unepoupe´eletempspendantlequelleme´canismefonctionnecor rectementavantlapremie`red´efaillance. Lavariableal´eatoireTre,´eprdarue´deestnnaltim´eeenaevieexprd’es´ennp´ouepunaesirpeeu 1 hasarddanslaproduction,suituneloiexponentielledeparam`etre. 3 Laprobabilit´eP(T≤t)´eupoiesnftiri´eeruea`queladrue´deveeiedalopttalorsae´nnsese donn´eepar: 1 −t P(T≤t) = 1−e3 Danscetexercice,pourchaqueprobabilite´demande´e,ondonnerasavaleur exactepuis une −4 valeurapproch´eea`10pr`es.

III1a 1b

III2

2a 2b

III3

3a 3b

III4

6/9

4a

4b

4c

4d

D´eterminerlaprobabilite´pnu’uqtincfoneeep´oueptu’duaoblpsunoene.nn´eunea Exprimer, en fonction detet´l,paorabibilP(tT > )´puo’neeatianucueu’qepun d´efaillancependanttann.e´se J’aiachet´eunepoupe´e.OnnoteAn’aaucunapoup´eemene:tl“’le´´vnecnalee´deliaf pendantuneann´ee”etBaucuen’aup´elapotn“:enemvee´l´’tanndepecnalliafe´den trois ans”. D´eterminerlesprobabilite´sP(A)etP(B)tnsenemev´edes´AetB. Sachantquelapoupe´efonctionneparfaitementauboutd’unan,quelleestlapro babilite´PA(B)roaeeecnoinnnotcans?roistdetuboueltsuJreﬁief´euppolaueq calcul. Lefabricantgarantitlespoup´eespendantunanets’engage`arembourserlespoup´ees d´efectueuses. −2 Donnerunevaleurapproch´ee`a10uobme´sr.segetapode´eupreesrpe`dspuuocrne Quelledure´edegarantiemaximalet0devrait proposer le fabricant pour qu’il ne rembourse pas plus de8%despoup´?sevseeudne Calculerlavaleurexacte,exprim´eeenanne´es,det0ultat.erler´esuJ.ﬁits Donnerunevaleurapproch´ee,exprim´eeenmois,det0. Uncommerc¸antache`teunlotdetroispoup´eesetlefabricantoﬀre,pourchaque poup´ee,unegarantied’uneanne´e. SoitXessurcembours´eravall´eabliaerirtoeasenepe´relonattndepombreesreup´e lot. Exprimer, en fonction dep´edeinﬁnIII1aal,it´eabilprobP(X= 3)que les trois poupe´esnefonctionnentplusauboutd’unan. Exprimer, en fonction dep,lorpaibab´tileP(X= 1)qunu’euesdelesioptsorsepue´ ne fonctionne plus au bout d’un an. Compl´eterletableaudonnantlaloideprobabilite´deXt´esbilirobaLesp.tnesor exprime´esenfonctiondep. Derterminer, en fonction dep,l’esamhte´am´prenaeceuqitE(X)de la variableX.

GEIPIPOLYTECHENIT 2011 MATHEMATIQUES

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