Reductions parametriques La W hierarchie Deux exemples L'hypothese de complexite exponentielle ETH

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Reductions parametriques La W -hierarchie. Deux exemples L'hypothese de complexite exponentielle (ETH) Complexite parametree (3) Reductions parametrees et classes de complexite Christophe PAUL (CNRS - LIRMM) November 5, 2010 Christophe PAUL (CNRS - LIRMM) Complexite parametree (3) Reductions parametrees et classes de complexite

alphabet fini

?? ?

complexite

parametres sur les alphabets respectifs

hypothese de complexite exponentielle

classe de complexite fpt

reductions parametrees

parametrisation de ??

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Complexité

R´eductionspara´mteiruqseaL-Wihra´ehircDee.exuxlpmeseAUL(phePistoChrlpmoC)MMRIL-SRNCr´etm´rapa´eitexarapte´mee´rctes(3ee´e)Rctdunsio´te

Christophe PAUL (CNRS - LIRMM)

Complexit´eparame´tre´e(3) Re´ductionsparametr´eesetclassesdecomplexite´ ´

November 5, 2010

lassesdecomplexi

´tixelpmoC)MMRIL3)e(´etr´eamarephCirNRS-UL(ChePAstoptixe

Re´ductionsparame´triques Rappelsetd´eﬁnitions Exemples

e´cedslpmo

Deux exemples Ensembleind´ependant Ensemble dominant

LaW-harchi´erei. Circuits logiques weighted-sat

L’hypothe`sedecomplexite´exponentielle(ETH)

nopsrama´Rdecuitetclasse´etr´eesitcude´RmarapsnohceireraexexD.ueique´etr-hi´sLaWelpmstd´eﬁnitRappelseselpmexEsnoi

κ)tee(Q,pairtunetsnuteeκ⊆Q∗Σqleuioatistr´eamareputse∗Σ∈xis.∗Σedneml`arepUn2obprrus(se)Σe´mae´rtQ(κ,e`emPF(Te)tsdParFixeerizametatcarTdeli’s)elbunteisexthrigoalennitsnaeced,Q(κx)estsonparam`etC.erssalcedelpmoitexFP´enpTUblro´rte´marape´tixeplom)CMMIR-LRSCNesct´ree´mteaparionsduct)R´eee(3elpm´tixtnodocalideceteQAqmed´uihpPeUA(LC)rhsiotx)).nO(1eestf(κ(et´

Proble`meparame´tre´ Soit Σ un alphabet ﬁni. 1Unearptaoinmae´rtside Σ∗est une fonctionκ: Σ∗→N calculable en temps polynomial.

ssaledsepmocixel´Ritnodecueuxexemplesh-Ware´ihcraD.eiarsp´eamiqtrsLueesmelpsnxEtioie´nﬁtdseelppRa

ssseedocpmelix´tram´etr´eesetcla

Probl`emeparametre´ ´ Soit Σ un alphabet ﬁni. 1Unepamarnoirte´taside Σ∗est une fonctionκ: Σ∗→N calculable en temps polynomial. 2Unerte´l`obpramarepem(sur Σ) est une paire (Q, κ) tel que ´ Q⊆Σ∗etκtsepenuamartr´eatisndioeΣ∗.

six∈Σ∗est une instance deQ,κ(x).etreram`onpaests

Classe de complexite FPT ´ Unprobl`eme(Q, κ) estFPT(Fixed Parameterized Tractable) s il existe un algorithmeAecd´uiqeidQstdoetocpmtnal´teeelix ’

f(κ(x)).nO(1)

tr´eamaraWsLueiqde´Rpsnoitcumplexexesrerah-´iD.uehcei´etdseelppRaselpmexEsnoitinﬁ(3)R´eductionspatie´apar´mte´ree-LRSMMIRom)CexplsirhhpotUAPeNC(LC

selpedR´tiucpsnomararte´euqisLaW-hi´erarchieD.ueexexpmelselseRappnﬁtidte´xEmeoisnunteisexIl)3(1|Ox|.))x(κ(fe´tixeompl)dect`aκpporraarTPp(mhFerotix)κ()x)R(g()6∗Σ∈x(0κ,ruoptuottellequebleg:N→NcnlaucalfenotcoiluclelbaurapglanRe2castCNRSAUL(MM)C-LIRxetimolpar´me´aprhCPehpotsisetclassesdecompelix´te

On notera(Q, κ)6fpt(Q0, κ0)

De´ﬁnition:R´eductionparam´etrique Soient (Q, κ) et (Q0, κ0te´marapseme`lboesrlsuesr´)deuxpr alphabets respectifs Σ et Σ0. Unere´ductionparam´etrique(FPT) de (Q, κ) vers (Q0, κ0) est une fonction :R: Σ∗→(Σ0)∗ telle que 1Pour toutx∈Σ∗, nous avons (x∈Q⇔R(x)∈Q0)

r´et(3ee´e)Rctdusnoiarapte´mee´r

elsexpmetlseﬁd´tinisEonReppateirar´msnaptcoi´eduRselpmexexueD.eihrcra´ehiW-Laesquxist3Ileitexplom

On notera(Q, κ)6fpt(Q0, κ0)

De´ﬁnition:Re´ductionparame´trique Soient (Q, κ) et (Q0, κ0spmeamarroxp`eblelrusrte´sse´eu)d alphabets respectifs Σ et Σ0. Unere´ductionparam´etrique(FPT) de (Q, κ) vers (Q0, κ0) est une fonction :R: Σ∗→(Σ0)∗ telle que 1Pour toutx∈Σ∗, nous avons (x∈Q⇔R(x)∈Q0) 2Rest calculable par un algorithmeFPTap(rtpoaprr`aκ) de complexit´ef(κ(x)).|x|O(1)

´elctesee´cedsessaonspucti´etraramrte´mae´´Rde(e)3´tixrapeoC)MelpmS-NRRMLIPAhe(CULhCirtspo))x(κ(g6))x(R(0κ∗,∈Σtxourtouepquleel→NtNel:glubacalctionfonceune

e´apxetimolpMMC)-LIRCNRSAUL(phePotsirhCppaRseel´etditﬁnnsioslpsexEmetqei´eruaLrs´WmaRh)-e´´ieree3r(aicohnised.uDcetumx´eextepmaprlaectesee´redsesdsea´lRxtiiluecmsppcoonam

D´eﬁnition:R´eductionparame´trique Soient (Q, κ) et (Q0, κ0de)emesparauxprobl`uslrse´mte´rse alphabets respectifs Σ et Σ0. Unereductionparam´etrique(FPT) de (Q, κ) vers (Q0, κ0) est une ´ fonction :R: Σ∗→(Σ0)∗ telle que 1Pour toutx∈Σ∗, nous avons (x∈Q⇔R(x)∈Q0) 2Rest calculable par un algorithmeFPTorppraarat`p(κ) de complexite´f(κ(x)).|x|O(1) 3Il existe une fonction calculableg:N→Ntelle que pour toutx∈Σ∗,κ0(R(x))6g(κ(x)) On notera(Q, κ)6fpt(Q0, κ0)

aretrt´´e

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