Rearrangements de champs gaussiens

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Raphael Lachieze - Rey

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01 mars 2011

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Rearrangements de champs gaussiens Raphael Lachieze-Rey Unite de Recherche en Mathematiques, Universite de Luxembourg En collaboration avec Youri Davydov, Universite Lille 1 18 mars 2011 Raphael Lachieze-Rey () Rearrangements de champs gaussiens 18 mars 2011 1 / 32

rearrangement multi-dimensionnel

universite de luxembourg

mouvement brownien

rearrangements de champs gaussiens

unite de recherche en mathematiques

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01 mars 2011

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Davydov Mouvement brownien

Rearrangements de champs gaussiens
Rapha¨el Lachi`eze-Rey
Unit´e de Recherche en Math´ematiques, Universit´e de Luxembourg
En collaboration avec Youri Davydov, Universit´e Lille 1
18 mars 2011
Rapha¨el Lachi`eze-Rey () Rearrangements de champs gaussiens 18 mars 2011 1 / 32Introduction
dX : Champ gaussien centr´e sur C compact de R .
X : R´egularisations X (z)→ X(z) pour tout z. (Approximationn n
simpliciale, convolution.)
Convergence des fonctionnelles

V (f,X)= f(b ∇X (z))dz = f(y)µ (dy)n n n n
dC R
avec
d −1µ = λ (b ∇X ) ,n n n
b ≥ 0 appropri´e,n
2f continue, f(y)=O(y )quandy→∞.
Rapha¨el Lachi`eze-Rey () Rearrangements de champs gaussiens 18 mars 2011 2 / 321 2exemplesintroductifs
2 R´esultats de convergence en dimension d
3 R´earrangement multi-dimensionnel
Rapha¨el Lachi`eze-Rey () Rearrangements de champs gaussiens 18 mars 2011 3 / 321 2exemplesintroductifs
2 R´esultats de convergence en dimension d
3 R´earrangement multi-dimensionnel
Rapha¨el Lachi`eze-Rey () Rearrangements de champs gaussiens 18 mars 2011 4 / 32Variance quadratique d’un mouvement brownien
X : Mouvement brownien sur [0,1].
Variance quadratique :
n−1
2v (X)= |X((k +1)/n)−X(k/n)| .n
k=1
Alors
v (X)→ 1 p.s.n
Autre formulation
X : Interpolation aﬃne de X sur {1/n, 2/n,...},d´erivablepresquen
partout.
n−1 1
2 −1/2 2 −1/2 2v (X)=V (y ,X)= |n X (k/n)| = (n X ) (z)dzn n n n
0
k=1
Rapha¨el Lachi`eze-Rey () Rearrangements de champs gaussiens 18 mars 2011 5 / 32Mesure d’occupation
Mesure d’occupation du gradient :
−1/2 −1µ = λ (n X )n 1 n
−1/2 µ ([a,b]) = #{k : n X (k/n)∈ [a,b]}=#{k : G ∈ [a,b]},n kn
G iid∼N(0,1). µ : Mesure empiriquek n
µ ⇒N(0,1) p.s.,n
Pour tout f continue born´ee,

V (f,X)= f(y)µ (dy)→ f(y)µ(dy).n n
R R
Rapha¨el Lachi`eze-Rey () Rearrangements de champs gaussiens 18 mars 2011 6 / 32Rearrangement convexe
On r´earrange les accroissements→ fonction monotone,
On int`egre cette fonction→ fonction convexe : b CXn n
Rapha¨el Lachi`eze-Rey () Rearrangements de champs gaussiens 18 mars 2011 7 / 32R´earrangement convexe g´en´eral
Vert : Fonction f
Rouge : R´earrangement convexe Cf.
Revient `a changer l’ordre des accroissements :
Deﬁnition
1Pour f C , Le r´earrangement convexe de f est l’unique fonction convexe
Cf qui v´eriﬁe
−1 −1λ f =λ (Cf)1 1
et f(0) =Cf(0).
Rapha¨el Lachi`eze-Rey () Rearrangements de champs gaussiens 18 mars 2011 8 / 32Application en ´econom´etrie
Ressource distribu´ee `a une population de taille N.
Membre num´ero k re¸coit r .k
Revenu cumul´e : f(n)= r .kk≤n
f est ´etendue `a une fonction lin´eaire par morceaux [0,N].
Rapha¨el Lachi`eze-Rey () Rearrangements de champs gaussiens 18 mars 2011 9 / 32R´earrangements asymptotiques
1X n’est pas de classe C −→ Pas de CX.
On d´eﬁnit
CX(z)=b limCX (z)n n
n
si la limite existe.
Rapha¨el Lachi`eze-Rey () Rearrangements de champs gaussiens 18 mars 2011 10 / 32