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Quelques resultats mathematiques sur un systeme hyperbolique modelisant la chromatographie en phase gazeuse avec prise en compte de l'effet de sorption Christian BOURDARIAS, LAMA, Universite de Savoie Marguerite GISCLON, LAMA, Universite de Savoie Stephane JUNCA, Labo J.A.D., Universite de Nice. 1 Introduction On examine un modele utilise pour la separation de composants gazeux par adsorption isotherme selective sur un substrat solide dans le domaine de la chromatographie, avec cinetique instantanee. L'effet de sorp- tion (variations de vitesse liees au processus) est pris en compte via une contrainte de pression totale et la cinetique d'echange entre phases est supposee instantanee, [4]. Le systeme est de type hyperbolique a condition d'echanger les roles de l'espace (en une dimension) et du temps. Dans le cas de deux composes on obtient un systeme strictement hyperbolique 2?2 avec donnees initiales et au bord, de le forme suivante, dans le quadrant t > 0, x > 0: ? ???? ???? ∂u ∂x + ∂h(c) ∂t = 0 ∂(u c) ∂x + ∂I(c) ∂t = 0 ? ??? ??? c(0, x) = c0(x) ? [0, 1], x > 0 c(t, 0) = cb(t) ? [0, 1], t > 0 u(t, 0) = ub(t) > 0, t > 0, u designe la vitesse et

isotherme de langmuir

separation de composants gazeux par adsorption isotherme

chromatographie gaz

solution du probleme de riemann

vitesse de choc

systeme d'adsorption

structure stratifiee de la vitesse

cinetique d'echange entre phases

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Jean Gisclon Isotherme de Langmuir

Quelquesr´esultatsmath´ematiquessurunsyst`emehyperbolique mode´lisantlachromatographieenphasegazeuseavecpriseen compte de l’eﬀet de sorption Christian BOURDARIASde´tvaSevinUisre,LAMA,eoi Marguerite GISCLONvire,AnUL,MAeavoiedeSsit´ St´ephaneJUNCAde´eceNi.obaL,itrsveni,UD.A.J.

Introduction

Onexamineunmod`eleutilis´epourlas´eparationdecomposantsgazeuxparadsorptionisothermes´elective surunsubstratsolidedansledomainedelachromatographie,aveccine´tiqueinstantan´ee.L’eﬀetdesorp-tion(variationsdevitesseli´eesauprocessus)estprisencompteviaunecontraintedepressiontotaleet lacin´etiqued’e´changeentrephasesestsuppose´einstantan´ee,[4].Lesyst´emeestdetypehyperboliquea` conditiond’´echangerlesroˆlesdel’espace(enunedimension)etdutemps.

Danslecasdedeuxcompose´sonobtientunsyste`mestrictementhyperbolique2×´nnodcevitiniseeales2a et au bord, de le forme suivante, dans le quadrantt >0, x >0:   ∂u ∂h(c) c(0, x) =c0(x)∈[0,1]>, x 0 + = 0   ∂x ∂t c(t,0) =cb(t)∈[0,1]>, t 0  ∂(u c)∂I(c)   + = 0u(t,0) =ub(t)>0>, t 0, ∂x ∂t ussteteeengiivalse´dctescdreiRtileemssi´nev.aOrnida´neut’csnmoopnratetnatotiudoncolaennc lesentropies,on´evoquequelquesre´sultatsr´ecentssurcesyste`mehyperboliquenonlin´eaire: ∞ •existences de solutions entropiques avec vitesseLet concentrationsBV,[2, 3],

•udcsneecdaGe´hmeov,[odun,2,3]oncrgve

•stserutcure´ﬁitartitaveledpp,aseesfetilbialedemilapaauagsscaliontiartneettesseentesurlavi la limite forte sur la concentration dans le tube, [5], ∞ ∞ •Exemple d’explosion de la vitesse dansLeen´nsdaevanodcLpour la concentration, [6],

•udnaioatpplove´eeuqite´ncilppateeriqnum´7].ue,[dtu’menee´amsnhcformulationci

Lemod`ele

Pourunediscussionplusde´taill´eesurlemode`le,onrenvoita`[4].LaChromatographie gaz-solide estunetechniqued’analysedesme´langesgazeux.

“Lem´elangeanalys´eestvaporise´a`l’entr´eed’unecolonne,quirenfermeunesubstanceactivesolideap-pel´eephasestationnaire,puisilesttransporte´a`traverscelle-ci`al’aided’ungazporteur.

Lesdiﬀ´erentesmole´culesdume´langevontses´epareretsortirdelacolonnelesunsapre`slesautreset apre`suncertainlapsdetempsquiestfonctiondel’aﬃnit´edelaphasestationnaireaveccesmole´cules.” source: (Wikipedia) Les´equationsdeconservationdelamassesont:

∂t(ci+qi) +∂x(u ci) = 0,