Quantum cohomology of complete intersections

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Arnaud Beauville

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QuantumcohomologyofcompleteintersectionsArnaudBeauville1IntroductionThequantumcohomologyalgebraofaprojectivemanifoldXisthecohomo-logyofXendowedwithadiﬀerentalgebrastructure,whichtakesintoaccountthegeometryofrationalcurvesinX.Thisstructurehasbeenﬁrstdeﬁnedheuristicallybythemathematicalphysicists[V,W];arigorousconstruction(andproofoftheassociativity,whichishighlynontrivial)hasbeenachievedrecentlybyRuanandTian[R-T].Whencomputede.g.forsurfaces,thequantumcohomologylooksrathercom-plicated[C-M].Theaimofthisnoteistoshowthatthesituationimprovesconsi-derablywhenthedimensionbecomeshighwithrespecttothedegree.Ourmainresultis:Theorem.−LetX⊂Pn+rbeasmoothcompleteintersectionofdegree(d1,...,dr)Panddimensionn≥3,withn≥2(di−1)−1.Letd=d1...drandδ=P(di−1).ThequantumcohomologyalgebraH∗(X,Q)isthealgebrageneratedbythehyperplaneclassHandtheprimitivecohomologyHn(X,Q)o,withthere-lations:Hn+1=d1d1...drdrHδH∙α=0α∙β=(α|β)1(Hn−d1d1...drdrHδ−1)dforα,β∈Hn(X,Q)o.ThemethodappliesmoregenerallytoalargeclassofFanomanifolds(seeProposition1below).Itisactuallyastraightforwardconsequenceofthedeﬁnitions–exceptfortheexactvalueofthecoeﬃcientd1d1...drdr,whichrequiressomestan-dardcomputationsinthecohomologyoftheGrassmannian.StillIbelievethatthesimplicityoftheresultisworthnoticing.Astherefereepointedout,wegetactuallymorethananabstractpresentationofthequantumcohomologyalgebrabygeneratorsandrelations.ThepointisthatthepowersofthegeneratorHhaveasimplegeometricinterpretation:denotingbyHp∈H2p(X,Z)theclassofacodimensionplinearsection,weobtainforp≤nk−Xpk−XpHp=Hp+(`i)Hp−k,Hp=Hp−(`i)Hp−k,i=0i=01PartiallysupportedbytheEuropeanHCMproject“AlgebraicGeometryinEurope”(AGE),ContractCHRXCT-940557.1

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