Quanteninvarianten und niedrigdimensionale Topologie
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Quanteninvarianten und niedrigdimensionale Topologie Michael Eisermann Institut Fourier, Grenoble www-fourier.ujf-grenoble.fr/˜eiserm 9. Marz 2009 Vortrag am Mathematischen Institut der Universitat Munster
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Quanteninvarianten und niedrigdimensionale Topologie
Michael Eisermann
Institut Fourier, Grenoble wwwfourier.ujfgrenoble.fr/˜eiserm
9. März 2009
Vortrag am Mathematischen Institut der Universität Münster
Überblick
1
2
3
4
Von klassischen Invarianten zu Quanteninvarianten
Diskrete YangBaxterOperatoren und Deformationen
Das JonesPolynom von Bandverschlingungen
Zusammenfassung und Ausblick
GeschichtlicherÜberblickzurKnotentheorie
Vorläufer (vor 1900) Elektromagnetismus (Gauss) Vorstudien zur Topologie (Listing) Atomtheorie – Knoten im Äther (Kelvin) empirische Klassifikation (Kirkman, Little, Tait)
GeschichtlicherÜberblickzurKnotentheorie
Vorläufer (vor 1900) Elektromagnetismus (Gauss) Vorstudien zur Topologie (Listing) Atomtheorie – Knoten im Äther (Kelvin) empirische Klassifikation (Kirkman, Little, Tait)
Klassische Topologie (ab 1900) Fundamentalgruppe (Poincaré, Wirtinger, Dehn, . . . ) Homologie (Alexander, Seifert, . . . ) Diagramme (Reidemeister), Zopfgruppen (Artin) 2/3/4Mannigfaltigkeiten (Fox–Milnor, Papakyriakopoulos, Waldhausen, . . . )
GeschichtlicherÜberblickzurKnotentheorie
Vorläufer (vor 1900) Elektromagnetismus (Gauss) Vorstudien zur Topologie (Listing) Atomtheorie – Knoten im Äther (Kelvin) empirische Klassifikation (Kirkman, Little, Tait)
Klassische Topologie (ab 1900) Fundamentalgruppe (Poincaré, Wirtinger, Dehn, . . . ) Homologie (Alexander, Seifert, . . . ) Diagramme (Reidemeister), Zopfgruppen (Artin) 2/3/4Mannigfaltigkeiten (Fox–Milnor, Papakyriakopoulos, Waldhausen, . . . )
Quantentopologie (ab 1984) ZopfDarstellungen und Deformationen (Jones, HOMFLYPT, Kauffman, . . . ) Invarianten von endlichem Typ (Vassiliev, Goussarov, . . . , Kontsevich, . . . ) Kategorifizierung (Khovanov, OsvathSzabo, . . . )
Knoten und Verschlingungen
1 3 3 EinKnotenist eine glatte Einbettungf:S֒→R(oderS).
Knoten und Verschlingungen
1 3 3 EinKnotenist eine glatte Einbettungf:S֒→R(oderS).
1 3 EineVerschlingungist eine glatte Einbettungf:n×S֒→R.
Knoten und Verschlingungen
1 3 3 EinKnotenist eine glatte Einbettungf:S֒→R(oderS).
1 3 EineVerschlingungist eine glatte Einbettungf:n×S֒→R.
3 Wir betrachten diese modulo Isotopie desR.
R1 ~
R2 ~
R3 ~
Überblick
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4
Von klassischen Invarianten zu Quanteninvarianten Fundamentalgruppe und AlexanderPolynom JonesPolynom und Quanteninvarianten Invarianten von endlichem Typ
Diskrete YangBaxterOperatoren und Deformationen
Das JonesPolynom von Bandverschlingungen
Zusammenfassung und Ausblick
Fundamentalgruppe
Satz (Dehn 1914) Die beiden Kleeblattschlingen sind verschieden.
