PUB IRMA LILLE Vol No IV

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PUB. IRMA, LILLE 2007 Vol. 67, No IV A versatile MCMC strategy for sampling posterior distributions of analytically intractable models R. S. Stoica? Universite Lille 1 Laboratoire Paul Painleve 59655 Villeneuve d'Ascq Cedex France P. Gregori†and J. Mateu‡ Universitat Jaume I Campus Riu Sec, E-12071 Castellon, Spain Abstract This paper proposes a new versatile strategy for sampling posterior distributions for analytically intractable models. Building such samplers using Markov Chain Monte Carlo methodology usually leads to algorithms which are rather expensive from a computational point of view, hence hav- ing very few chances to be used for practical applications. The strategy we propose overcomes this drawback and is easy to use. A direct applica- tion of the proposed method is shown and discussed: maximum likelihood estimation of the parameters of a spatial point process. Resume Cet article propose une methodologie souple pour la simulation des lois a posteriori des modeles ayant des constantes de normalisation qui ne sont pas calculables analytiquement. Utiliser naıvement la philosophie Monte Carlo pour ce type de probleme, amene a des algorithmes couteux du point de vue du temps de calcul, donc peu utilisables en pratique. La strategie que nous proposons elimine cette difficulte et de plus elle est facile a utiliser. Nous montrons et discutons une application pratique : estimation des parametres d'un processus ponctuel par la methode du maximum de vraisemblance.

method computationally heavy

philosophie monte

density over

variable method

maximum likelihood

processus ponctuel par la methode du maximum de vraisemblance

models cannot

carlo

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Painlevé Maximum likelihood

PUB.IRMoA,LILLE2007Vol.67,NIVAversatileMCMCstrategyforsamplingposteriordistributionsofanalyticallyintractablemodelsR.S.Stoica∗Universite´Lille1LaboratoirePaulPainleve´59655Villeneuved’AscqCedexFranceP.Gregori†andJ.Mateu‡UniversitatJaumeICampusRiuSec,E-12071Castellon,SpainAbstractThispaperproposesanewversatilestrategyforsamplingposteriordistributionsforanalyticallyintractablemodels.BuildingsuchsamplersusingMarkovChainMonteCarlomethodologyusuallyleadstoalgorithmswhichareratherexpensivefromacomputationalpointofview,hencehav-ingveryfewchancestobeusedforpracticalapplications.Thestrategyweproposeovercomesthisdrawbackandiseasytouse.Adirectapplica-tionoftheproposedmethodisshownanddiscussed:maximumlikelihoodestimationoftheparametersofaspatialpointprocess.R´esume´Cetarticleproposeuneme´thodologiesouplepourlasimulationdesloisaposterioridesmode`lesayantdesconstantesdenormalisationquinesontpascalculablesanalytiquement.Utilisernaı¨vementlaphilosophieMonteCarlopourcetypedeproble`me,ame`nea`desalgorithmescouˆteuxdupointdevuedutempsdecalcul,doncpeuutilisablesenpratique.Lastrate´giequenousproposonse´liminecettediﬃculte´etdepluselleestfacilea`utiliser.Nousmontronsetdiscutonsuneapplicationpratique:estimationdesparame`tresd’unprocessusponctuelparlame´thodedumaximumdevraisemblance.MathematicsSubjectClassiﬁcations(2000):60J22,60G55Keywords:computationalmethodsinMarkovchains,maximumlikelihoodestimation,pointprocesses.Note:partoftheworkoftheﬁrstauthorwasdoneduringhisstaysatUniversityJaumeIandINRAAvignon.

I3–V1Generalcontextandpresentationoftheprob-melThemodernprobabilitytheorytogetherwiththeincreasingperformancesofthecomputersallownowadaystheuseofcomplexstochasticmodelsinnumerousapplicationdomainssuchasenvironmentalsciences,astronomyorimageanaly-sis.Thedynamicsofadisappearingspecies,thedistributionofgalaxiesinouruniverse,orbrainactivityimagescanbeseenastherealisationofstochasticprocessescontrolledbysomeparameters.Scientistswishtoanswertwomajorquestions.Theﬁrstoneishowthemodelbehavesknowingthatitisgovernedbysomegivenparameters.Thesecondoneisthereverseoftheﬁrstquestion.Thatis,whataretheparametersofthemodelthatcanmimicanobservedphenomenon.Inprobabilisticterms,answerstothesecondquestioncanbeformulatedifonecansamplefromtheposteriorlaw,i.e.thelawofthemodelparameters,conditionedtotheobservationofthephenomenonofinterest.Thereisalwaysabalancebetweenthemodelcapacityto“catch”realityanditsmathematicalproperties.Usually,realisticmodelsarerather“complicated”,hencetheirmathematicalpropertiesmaylook“notsoappealing”.Oneofthemostcommondrawbackexhibitedbysuchmodelsisthattheyareoftenana-lyticallyintractable.Therefore,computationsrelatedtosuchmodelscannotbedoneusingexactmathematicalformulae.Thesolutiontothatproblemistoperformthesecomputationsbymeansofcomputersimulations.Thesearereasonswhytodaythereexistsachallengeindevelopingstatisticalmethodologyallowinginferenceforsuchcomplexmodels.Theproposedsolu-tionshavetomeetseveralrequirementssuchas:mathematicalrigour,simplicityandcomputationaleﬃciency.Thisisthecontextwithinourpaperissituated.Inthefollowing,theproblemweaddressisintroduced:buildingaversatilesamplerforposteriordistributionsofanalyticallyintractablemodels.LetνbetheLebesguemeasureinRd,ΘacompactsubsetofRdofpositivemeasure,and(Θ,TΘ,ν)thenaturalrestrictionofthemeasurespace(Rd,T,ν).LetusconsiderastochasticprocessY,thatisdeﬁnedonaprobabilityspace(Ω,F,)andcharacterisedbytheprobabilitydensityp(y|θ)withrespecttothereferencemeasure.θ∈Θrepresentsthemodelparametervector.Fortheprobabilitydensitywewritep(y|θ)=f(y;θ))θ(cwithf(y;θ):Ω×Θ→R+andc(θ)thenormalisingconstantgivenbyZc(θ)=f(y;θ)d(y).ΩThemodelp(y|θ)issaidtobeanalyticallyintractableifananalyticalexpres-sionisavailableforf(y;θ)butnotforc(θ).Theusualconditionsthatf(y;θ)has

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