PSI Mardi Février MATHEMATIQUES
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PSI Mardi 9 Février 2010 MATHEMATIQUES Feuille d'Exercices Espaces euclidiens Exercice 1 : Soient E un espace euclidien et p un projecteur. Montrer que p est un projecteur orthogonal ssi il est autoadjoint. Exercice 2 : (CCP) Soit E un espace euclidien, (a, b) ? E2 et ? ? L(E) définie par : ?(x) =< a, x > b? < b, x > a. Déterminer ??. Exercice 3 : Soit A = ? ? 0 ?c b c 0 ?a ?b a 0 ? ?, avec a, b, c réels non tous nuls. 1. Montrer que I3 + A est inversible. Que dire de I3 ? A ? 2. Montrer que (I3 + A)(I3 ? A)?1 ? SO3(IR). Exercice 4 : Soit A = ? ? a b c c a b b c a ? ? ? M3(IR) Montrer que M ? SO3(IR) ssi il existe t ? [0, 427 ], tel que P (a) = P (b) = P (c) = 0 où P = X3 ?X2 + t. Exercice 5 : Déterminer nature et éléments caractéristiques des endomorphismes de IR3 associés aux matrices suivantes : 1.
Voir
- feuille d'exercices espaces euclidiens
- xz ?
- espace euclidien
- diagonalisabilité des matrices ata
- matrice orthogonale
- projecteur orthogonal
- ir3
PSI MATHEMATIQUES
Mardi 9 FÉvrier 2010
Feuille d’Exercices Espaces euclidiens
Exercice 1: SoientEun espace euclidien etpun projecteur. Montrer quepest un projecteur orthogonal ssi il est autoadjoint.
Exercice 2: (CCP) 2 SoitEun espace euclidien,(a, b)∈Eetϕ∈ L(E)dÉfinie par : ϕ(x) =< a,x > b−< b,x > a. ∗ DÉterminerϕ. 0−c b Exercice 3: SoitA=c0−a, aveca, b, crÉels non tous nuls. −b a0 1. Montrer queI3+Aest inversible. Que dire deI3−A? −1 2. Montrer que(I3+A)(I3−A)∈SO3(IR).
a b c Exercice 4: SoitA=c a b∈ M3(IR) b c a 4 Montrer queM∈SO3(IR)ssi il existet∈[0,], tel queP(a) =P(b) =P(c) = 0oÙ 27 3 2 P=X−X+t.
Exercice 5: DÉterminer nature et ÉlÉments caractÉristiques des endomorphismes de 3 IRassociÉs aux matrices suivantes : 1 2−2 1 1.A= 21 2. 3 −12 2 1 2−2 1 2.A=−12 2. 3 2 1 2 2 1 2 1 3.A= 2−2−1. 3 −1−2 2 Exercice 6: DÉterminer nature et ÉlÉments caractÉristiques de l’ endomorphisme de 1 11 1 1 1−1 1−1 4 IRassociÉ ÀA=. 2 11−1−1 1−1−1 1 Exercice 7: 3 1. DÉterminer la matrice dans la base canonique de la rÉflexionsdeIRpar rapport au planPd’Équation cartÉsiennex+y+z= 0. π 2. DÉterminer la matrice dans la base canonique de la rotationrd’angle autourde 3 l’axe dirigÉ et orientÉ para= (1,1,1).
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