PROPRIETES DIOPHANTIENNES DU DEVELOPPEMENT EN COTANGENTE CONTINUE DE LEHMER

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PROPRIETES DIOPHANTIENNES DU DEVELOPPEMENT EN COTANGENTE CONTINUE DE LEHMER T. RIVOAL Resume. On s'interesse dans cet article a un algorithme, du a Lehmer, qui permet d'ecrire, de fac¸on unique, tout nombre reel positif comme une serie alternee de cotangentes evaluees en des entiers n? , ? ≥ 0. Nous continuons l'etude debutee par Lehmer et poursuivie par Shallit : entre autres choses, on explicite le lien entre les approximations rationnelles d'un reel donne produites par cet algorithme et les reduites usuelles de ce meme reel et on determine une borne quasi optimale de la croissance de la suite (n?)?≥0 associee a un nombre algebrique. On determine egalement les fractions continues regulieres d'une classe remarquable de developpements en cotangente continue, ce qui nous permet de produire des mesures d'irrationalite tres fines de ces developpements. Abstract. This article deals with an algorithm devised by Lehmer which enables us to write any real positive number as the sum of an alternating series of cotangents of integers n? , ? ≥ 0 in a unique way. We continue the work begun by Lehmer and continued by Shal- lit : amongst other things, we give explicitly the link between the rational approximations of a given real number coming from this algorithm and the usual convergents of the same real number and we produce a quasi-optimal bound for the growth of the sequence (n?)?≥0 associated to an algebraic number.

fraction continue

interets de l'algorithme de lehmer reside

cotangentes reduites

n??1 ?

theoreme

developpement en cotangente continue

lehmer

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   PROPRIETES DIOPHANTIENNES DU DEVELOPPEMENT EN COTANGENTE CONTINUE DE LEHMER

T. RIVOAL

Resume.eLmhreq,emd,uˆad’ecriruipermet,enitnO’sdaseeserrttacensnuaelcihtirogla defaconunique,toutnombrereelpositifcommeuneseriealterneedecotangentesevaluees en des entiersn,ouni’lsnuteded0.usNontcoteopruusvieiaprebuteeparLehmer Shallit : entre autres choses, on explicite le lien entre les approximations rationnelles d’un reeldonneproduitesparcetalgorithmeetlesreduitesusuellesdecemeˆmereeleton  determineunebornequasioptimaledelacroissancedelasuite(n)0unaeecoiass nombrealgebrique.Ondetermineegalementlesfractionscontinuesregulieresd’uneclasse  remarquablededeveloppementsencotangentecontinue,cequinouspermetdeproduire desmesuresd’irrationalitetresnesdecesdeveloppements.  Abstract.an algorithm devised by Lehmer which enables us toThis article deals with write any real positive number as the sum of an alternating series of cotangents of integers n,0 in a unique way. We continue the work begun by Lehmer and continued by Shal-lit : amongst other things, we give explicitly the link between the rational approximations of a given real number coming from this algorithm and the usual convergents of the same real number and we produce a quasi-optimal bound for the growth of the sequence (n)0 associated to an algebraic number. We also determine the regular continued fractions of an exceptional class of continued cotangent developments, which enables us to produce optimal irrationality measures of these expansions.

1.Introduction

Lehmeraintroduitdans[3]uneremarquablerepresentationdesreelsal’aidedela fonctioncotangente.Ilavaiteneetremarquequelesdeuxdeveloppementslesplusconnus desnombressontobtenuspariterationd’unefonctiondedeuxvariables:l’iterationdela fonctionF(x, y) =x+y/qdonne F(n0, F(n1, F(n2, . . .))) =n0+nq1+qn22+  , soitledeveloppementenbaseqdnoifaletcnonoidu’rnelea,lorsquel’iteratF(x, y) = x+ 1/ydonne 1 1 1 F(n0, F(n1, F(n2 . ., .))) =n0 =+ 1n0+ + +   n1+n1n2, n2+   1991Mathematics Subject Classication.Primaire 11A55 ; Secondaire 30B70, 40A15. Key words and phrases.tirao-seunsem,seruri’dactie,frontionscegtntonaituncenopploveencteenemD nalite. 1