PROBLEMES INVERSES POUR L'ENVIRONNEMENT

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PROBLEMES INVERSES POUR L'ENVIRONNEMENT 15 5. Methodes variationnelles : controle optimal, etat adjoint Nous allons etudier dans cette partie le 4D-VAR, qui est une generalisation du 3D-VAR pour des observations distribuees dans le temps. On tient donc compte desormais d'un modele d'evolution (dans le temps) qui permettra de comparer l'etat du systeme avec les observations a l'instant approprie. La fenetre d'assimilation est un intervalle de temps donne, l'analyse est realisee a l'instant initial, et on suppose les observations distribuees sur m instants (ti)0≤i≤m dans l'intervalle. On notera y(ti) les observations, x(ti) l'etat du systeme, et xt(ti) l'etat vrai du systeme, a l'instant ti. La matrice de covariance des erreurs d'obser- vations a l'instant ti est notee Ri. L'operateur d'observation correspondant est note Hi. Par contre, la matrice de covariance d'erreur d'ebauche est toujours notee B, car elle n'est definie qu'a l'instant initial, l'ebauche xb etant une estimation a priori de l'analyse, donc a l'instant initial. 5.1. 4D-VAR : assimilation variationnelle en dimension 4. Dans sa formu- lation generale, le principe du 4D-VAR est de considerer la minimisation de la fonction cout suivante : (12) J(x0) = (x0?xb) TB?1(x0?xb)+ m∑ i=0 (yi ?Hi(x(ti))) T R?1i (yi ?Hi

matrice de covariance des erreurs d'obser- vations

condition initiale

instant initial

modele adjoint

fac¸on retrograde en temps

developpement de taylor des operateurs d'observation

adjoint du modele lineaire tangent

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5.ontres:coptiˆolee´atam,liotnatjdM´hoetvsedairanoitllen Nousallons´etudierdanscettepartiele4D-VAR,quiestuneg´ene´ralisationdu 3D-VARpourdesobservationsdistribue´esdansletemps.Ontientdonccompte de´sormaisd’unmod`eled’´evolution(dansletemps)quipermettradecomparer l’´etatdusyste`meaveclesobservationsa`l’instantappropri´e. Lafenˆetred’assimilationestunintervalledetempsdonne´,l’analyseestre´alis´ee`a l’instantinitial,etonsupposelesobservationsdistribu´eessurminstants (ti)0≤i≤m dans l’intervalle. On noteray(ti) les observations,x(time,ettate´’l)e`tsysudxt(ti) l’´etatvraidusyste`me,a`l’instantti. La matrice de covariance des erreurs d’obser-vations`al’instanttitontsee´eRie´totera´eopL’.vrtaoicnru’dboesdantestnorrespon Hiot´eursneehcuabe´ojuottsed’ceanrid’urreerocraertnP.decevacoam,lriatB, carellen’estde´ﬁniequ’a`l’instantinitial,l’e´bauchexboianrpoiir´etantuneestimat del’analyse,donca`l’instantinitial. 5.1.4D-VAR : assimilation variationnelle en dimension 4.Dans sa formu-lationge´n´erale,leprincipedu4D-VARestdeconsid´ererlaminimisationdela fonctioncoˆutsuivante: m X T−1T−1 (12)J(x() = t)))R( (x(t))). 0(x0−xb)B(x0−xb() + yi−Hi(xi iyi−Hi i i=0 Laminimisationdecettefonctioncoˆutestre´alise´esouscontrainte.Ils’agitd’une contraintefortedemod`ele,puisquel’´ecrituredeJ(xd´)leesdvadsenuerpx(ti), qui elles-meˆmesde´pendentdelaconditioninitialex0. D’un point de vuecontinusoppustuepno,noilotu´’veuqdeanimledyod`eelemerqu s’e´critdelafac¸onsuivante: dx (13) =F(x), x(0) =x0. dt Maisonpeut´egalemente´crireleprobl`emedefa¸concs`ridtee, en supposant que la suitedes´etatsdumod`elex(tianivsuon¸cfaladercti’se´):et (14)x(t) =M(x), i0→ti0 o`uM0→tir´laoleseld`oue(temrtnattnavep)eearetruomts’lpoe´ssreedapnitsed’lant initial`al’instantti. Le4D-VARestdoncunprobl`emecomplique´deminimisationnonline´airesous contrainte.Onpeutlesimpliﬁer`al’aidedesdeuxhypothe`sessuivantes: •ausaC:eil´tledeom`delod`elessuitedemmmocenuece´’erirnpiotseuev’´utol interm´ediaires,permettantdepasserd’uninstantausuivant.Onpeutsupposer queM0e),etsil’idesttsna0ta`ul-iˆmmedentsspadeerinl’itne(e´tmrepatte on noteMi`dlepereemttnadtlar´esolvantedumotnaseprdse’ieltansti−1a` ti, alorsxi=Mixi−1e´ucaprrec,rrnedonc,et xi=MiMi−1. . . M1x0. •ixorppAilnoitamnaegtn:e´naeriteoncoˆutplafonctia-dneruqeuˆtueerte dratiqueensupposant,enplusdelaline´arisationdesope´rateursd’observation Hieoldqeumle,`eMeupettˆilerae´n´sirnO.epourraalorsremplcareelom`dlee parsonapproximationline´airetangente(ousad´eriv´ee),etMsera alors le mode`leline´airetangent.Ils’agitdumeˆmeproce´d´equepourlesop´erateurs d’observationH´erag´enntlemeestrpiharcoi(v.)eCnest´cderpe´eesth`esypottteh validesilap´erioded’assimilationn’estpastroplongue.

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