Petite introduction aux mathematiques des derives financiers
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Petite introduction aux mathematiques des derives financiers (notes de cours, version provisoire) Michel Miniconi Departement de Mathematiques Laboratoire Jean-Alexandre Dieudonne Universite de Nice – Sophia-Antipolis Ces notes sont censees procurer un bagage minimum permettant de lire avec profit la litterature existante sur les mathematiques des derives financiers. Il s'agit donc d'une introduction rapide aux concepts et aux modeles de base de l'evaluation. Il arrivera cependant que certains resultats soient demontres. Ce texte presente une version provisoire d'un cours de Finance Quantitative donne a l'universite de Nice. Certains chapitres sont incomplets, d'autres sont encore a l'etat de projet. J'ai choisi de rendre publique cette version inachevee et informelle parce qu'il m'a semble qu'elle pouvait etre utile aux etudiants qui suivent ce cours. Certains exercices qui accompagnent le cours utilisent des notions qui ne sont pas encore redigees dans ces notes. I – Introduction 1. Formulation du probleme a travers un exemple. Un negociant en vins doit livrer 1000 caisses de bouteilles de vin, soit 6000 bouteilles, aux Etats-Unis debut novembre. Le contrat avec son client est etabli le 5 juillet (date t = 0) pour livraison dans quatre mois (le 5 novembre, date notee T ). Il est stipule que le client payera en dollars et a la date de livraison ; les deux parties se sont entendues sur le prix de 300 000 USD.
Voir
- contrat
- prix d'exercice
- date donnee
- marche des devises
- financial market
- taux
- risque financier
- marches financiers en temps continu
- option
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Français
Petiteintroductionauxmathe´matiquesdesd´erive´sfinanciers (notes de cours, version provisoire) Michel Miniconi D´epartementdeMathe´matiques LaboratoireJean-AlexandreDieudonne´ Universit´edeNice–Sophia-Antipolis Cesnotessontcens´eesprocurerunbagageminimumpermettantdelireavecprofitlalitte´ratureexistante surlesmath´ematiquesdesd´eriv´esfinanciers.Ils’agitdoncd’uneintroductionrapideauxconceptsetaux mod`elesdebasedel’´evaluation.Ilarriveracependantquecertainsr´esultatssoientde´montr´es. Cetextepr´esenteuneversionprovisoired’uncoursdeFinanceQuantitativedonne´`al’universite´deNice. Certainschapitressontincomplets,d’autressontencore`al’´etatdeprojet.J’aichoisiderendrepubliquecette versioninacheve´eetinformelleparcequ’ilm’asemble´qu’ellepouvaitˆetreutileauxe´tudiantsquisuivent cecours.Certainsexercicesquiaccompagnentlecoursutilisentdesnotionsquinesontpasencorer´edig´ees dans ces notes.
I – Introduction 1.Formulationduproble`mea`traversunexemple. ´ Unne´gociantenvinsdoitlivrer1000caissesdebouteillesdevin,soit6000bouteilles,auxEtats-Unis debutnovembre.Lecontratavecsonclientest´etablile5juillet(datet= 0) pour livraison dans quatre mois ´ (le5novembre,datenot´eeTIl).eleuqe´lupitstselceitnapeyarneodllarset`aladatedvilesiarl;noedseux parties se sont entendues sur le prix de 300 000 USD. ´ Le taux actuel EUR/USD est de 1,1cogerent´es’anch3roeuun7:,37 dollar US. Evidemment ce taux vafluctueraucoursdesquatremoisquise´parentladated’´ecritureducontratdeladatedelivraison.Ces variations,d’amplitudeimpre´visible,exposerontlen´egociantaurisque de change :si le taux EUR/USD augmente,i.e.ollailedte,irchusunes´essaincsesesorueneemmose`escaaprcherltouedivdnsesroinoev inf´erieurealasommeattendue. ` 2.Quelquesstrate´giesenvisageables. Sipouruneraisonquelconquelen´egociantnepeute´viterl’expositionaurisquedechange,illuireste diversespossibilite´sdere´duirecerisque.Nousenretiendronsdeux,lecontratdevente`aterme(forwardou futures) et l’option de vente (put). ` a. Le forward.A la datetgi´nlecesevaiosr=0,apr`ni,iracheaconcs´eamurteedtartnoevaetnev lene´gociantconclutavecsaproprebanqueuncontratdevente`atermeportantsur300000USD.Parce contrat,ils’engage`ae´changerdansquatremoiscettesommeendollarscontreunesommeeneuroscalcul´eea` l’aidedutauxdechange`aterme.Desoncoˆte´labanques’engage`aachet`tauxlesdollarsdune´gociant. er a ce Cetauxdechangeestde´termine´aujourd’hui(dateterat,pmeruouns`geanchesedh´rcamelrap)0= termedequatremois;ild´ependdesattentesdumarche´surlesdeuxdevisesainsiquedestauxd’int´erˆet domestiquesenvigueurdanslesdeuxzonesconcern´ees(EURetUSD).Maiscequiestimportantpourle ´ociantc’esttauxforwardestconnude`saujourd’huietqueceseraletauxquiserviradansquatre neg que ce moispourl’e´changedesdevises.Cecontratsupprimedonctouteincertitudesurlechange. Unforwardestuncontratentredeuxparties,nomme´esl’acheteuretlevendeur.Ici,len´egociantestle vendeurdansceforward,labanqueestl’acheteur:lene´gociantvenda`terme300000USDa`sabanque autauxforward.Pourfixerlesid´ees,supposonsqueletauxforwardEUR/USD`aquatremoissoit1,40 : len´egociantestassure´derecevoira`l’e´ch´eance214270eurosene´changedeses300000dollars.Parcette ope´rationlevendeursupprimelerisqueli´e`aunebaisseimportantedudollarUSparrapporta`l’euro. Onremarqueracependantquesi,aulieudechuter,ledollars’appre´cierelativement`al’eurolevendeur perdrauneopportunite´degainli´ee`auneparit´eEUR/USDdevenueavantageusepourunexportateur.Dans cettesituationc’estlabanque(l’acheteur)quir´ealiseraunb´en´efice,puisqu’ellepourraacheterlesdollarsau tauxe´critdanslecontratforwardetlesrevendreautauxdumarche´quiestplusavantageuxpourelle.Si 2002-2012 michel miniconi version du 16 avril 2012
parexempleledollars’appre´ciecontrel’euro,faisantpasserletauxEUR/USD`a1,30ab,lrse`riovauqnapa,e achet´eles300000USDaune´gociantauprixde214270EUR,pourraimme´diatementrevendrecesdollars surlemarche´desdevisesautauxcourantde1europour1,03odllras;ellerecevraen´ceahgn2e0367e9ruos, r´ealisantainsiunbe´ne´ficedepre`sde16500euros. Pourcetteraison,len´egociantpeutpre´f´rersecouvrirdurisquedechange`al’aided’uneoptionde vente. e b. L’option de vente.artnsaptraPocecque,abanvecss´ealaaaitngecoel´ne,t´libisiospmais non l’obli-gation,deluivendredansquatremois300000USDpaye´seneuros`tauxd´etermine´aujourd’hui(date a un ttnn´egociarat:sileecratnocmeteptnecoeel`mpenstg´ga´lcˆotqueeabanraituepxsenoseD.)e=0sdlerent e, veutluivendre`acetaux,labanqueal’obligationdeluiachetersesdollarsa`cetaux. L`aencore,cecontratsupprimetoutrisquelie´a`labaissedutauxdechangeEUR/USD.Mais`aladiff´erence ducontratforward,siletauxdumarch´ea`l’e´ch´eancedesquatremoisestplusavantageuxpourlen´egociant queletauxe´critdanslecontrat,c’est-a`-diresiledollarUSagrimpe´parrapporta`l’euroaucoursdesquatre moisjusqu’`ade´passera`l’e´ch´eanceletauxducontrat,len´egociantpourraprofiterdecetteappre´ciationdu dollarUSparrapporta`l’euroens’adressantdirectementaumarche´desdevisespourvendresesdollars. Cettefois-ci,lecontratestin´egal,a`l’avantagedun´egociant;labanqueassumetouslesrisques,puisqu’elle n’ameˆmepluslapossibilite´defaireunbe´n´eficesiledollars’appreciecontrel’euro;eneffet,danscecasle ´ ne´gociantiravendresesdollarsUSdirectementsurlemarch´edesdevises,etnonaupr`esdesabanqueselon letauxducontratpasse´avecelle.Pourcetteraison,ene´changedurisqueassum´e,labanquere´clameraune certainesommed’argent,appele´elaprime,quedevraluiverserlen´egocianta`l’´ecritureducontrat. 3. Options d’achat, options de vente : calls et puts. On appelleueornn(eaclle)pnachatnd’ap´eeeurooitpoun contrat entre deux parties, l’acheteur et le vendeurducontrat,quiconf`ere`al’acheteurledroit–maisnonl’obligation–d’acheter,a`unecertainedate Tuprixd’exercice)xfie´`slaa’avcn,eecuntaereinmatu(laoeluir´t´hae´’ce`aete)ncairtceunel(xirpno,ekirts quantite´d’unproduitde´termine´(le sous-jacent).La contrepartie (le vendeur, celui qui a´ecrtil’option) al’obligationprde´eocetenteuronsiled´arsncaited`rlatadeletsefnE.rise´tiopl’denimaenonondurais caract`eredissyme´triquedececontrat(optionopelrute´detneur,obligationlrveneedrue)dtrusiuqle´iepou auxfluctuationsal´eatoiresduprixdusous-jacent,risquequiseraassume´parlevendeur,celui-cire´clamera uneprimeraseuiqeel´egr´octnar,tesemtnud´etablislorsdel’i.e.tedala`atrineoenuruoPte´d0.=nonptio doitl’acheterenversantlaprimeoubienlarachetera`quelqu’unquiveuts’end´ebarrasser.Laprimeetle prixderachatsontd´etermin´esparne´gociationssurlesmarche´sdede´rive´s. Onnoteraquelesous-jacentd’uneoption,commed’ailleursceluid’unforwardouplusge´n´eralementde toutd´erive´,peuteˆtreuntauxdechangeouunedevise,maisaussiuneaction,unindice,unequantit´ede mati`erepremie`re,dem´etauxpr´ecieux,unedenr´eeagricole,unindiceboursier,uneressource´energ´etiqueetc. ouencoreunproduitde´rivedeceux-ci. ´ Lefait,pourlede´tenteurdel’option,deproc´eder`alatransaction(pouruncall,l’achatdusous-jacent) a`ladateTlnolesesrmteesrantcoduitgnctno’lpone(t)qu’tionchetilaa’se´eppaelll’exercice. ` Acoˆt´edesoptionsd’achat,onavuqu’ilexistelesoptions de vente (puts),`fnociuq´eteeurdt`alerenrtnue le droit – mais non l’obligation – devendreenunauqtermin´ect´iete´,ed´eaejntescxtenrse;dleisoe’utop-osi l’e´metteurdel’option(levendeur)al’obligationd’acheterlaquantit´edesous-jacentpre´vue.Ainsi,quatre casdefigurepeuventsepr´esenter: – achat d’une option d’achat, – vente d’une option d’achat, – achat d’une option de vente, – vente d’une option de vente. Enfin,certainesoptionsconf`erent`aleurde´tenteurledroitd’exercer`an’importequelledatedurantla p´eriodedematurite´:onparlealorsnam´ptiod’oicerneaime(acaritpon)noi. . .sans prejuger de la position ´ g´eographiqueo`us’effectuentlestransactions. 4. Encore un peu de terminologie. D’unemanie`reg´ene´rale,lorsquel’onavendua`termeunecertainequantite´d’unactif(option,action, taux,or,pe´trole. . .uneetd´ntieuetqonl’,)idnoposition courte (short position)sur cet actif. Dans le cas d’un achat, on parle deposition longue (long position). 2
Lavensriqu`eeualntrihsacede´titnauqaitedr´tcaierisqusanoe´`eitnoa`nudu’enpon´eeestledatedon d´etenteursicelui-ciexer¸caitimm´ediatementl’option,eneˆut-illapossibilite´,puisfermaitsapositionsurle sous-jacentauprixdumarch´e.Parexemplesilesous-jacentsen´egociea`90–C, un call 85–Ca une valeur intrins`equede5–Cnt)clemetueleventn´(¸racenextee,85llcaduurteente´delnoitpoette.effEn–Cte`echaleitra sous-jacenta`85–C. S’il le revendait ensuite 90–C´5uslrarem´echla,iaiuranfitemelnetnsiac–C. se Ladiff´erenceentreleprixd’uneoptiona`unedatedonne´eetsavaleurintrinse`queestappel´eevaleur temporelleoulav`ense.qureeurixtSi un call 85–Csne´egocie8–Cs-jaavnescouu`a90cent–Casav,nirtelruueeqs`in est de 5–Cet sa valeur temporelle est de 3–Csruorpeledxipo’leual´erslegaujtosamoemedecdsuevx;l.itno Lorsqu’uneoptionaunevaleurtemporellenulle,sonprixeste´gal`asavaleurintrinse`que.Danscecason dit qu’elle cotea`ripae.t´ Uneoptionquiposs`ede`aunecertainedateunevaleurintrins`equepositiveestditedans la monnaie (in-the-money)oudans le coursvedsuelatnirsnirqu`eele,esleittdeauco.Sia’apllnerieetnarhors de la monnaie (out-of-the-money)ouhors du coursla valeur du sous-jacent est identique au prix d’exercice, on dit. Lorsque que l’option esta`alyeno)-tat-mhennmoe(ai. Techniquement, une telle option est hors la monnaie puisque savaleurintrinse`queestnulle.Maissavaleurtemporelleestmaximumetcetyped’optionsfaitl’objetd’un trade intensif, c’est pourquoi on leur donne un nom particulier. 5. Le juste prix. Une option est unhheerivitd´udorpiiencets´dlleeuqe’essnunon,meer’usdniefinteecnanoreitcanfi,fi ´ sous-jacent.Lavaleurd’uneoptionvarietoutaulongdesadur´eedevie,enfonctiondesfluctuationsal´eatoires du prix du sous-jacent. Leprixded´epartdel’optionestlaprimevers´eeparl’acheteur`aladateou`l’optioneste´crite.Sonprix a`ladatedematurite´estlepay-offhrnopruoelroreeveluednuoberesrevedd´raomasqumepoitnol,ed’l contrat (voirultnesmed´lesile.)sabsulmosetteCurepfigdreprolaelsonn’exercepas;ilteneetrued’lpoit montant de la prime. Soit [0, TtametiruO.e´tonnap]lri´eedoderaSt-sajectna`aladetleprixdusout∈[0, T].eeld`moLe mathe´matiquedeceprixseraunas´lseusri:eaeotprocpour toutt,Stalleat´evaneabriutseineioer´dfie surl’ensembleΩdes“´etatsdumonde(dumarch´e)”i.e.de toutes les trajectoires de prix envisageables danslap´eriodeder´efe´rence.L’ensembleΩestmunid’unestructured’espaceprobabilise´surlaquellenous reviendronsplustard.Ilnoussuffitpourl’instantd’interpre´terlaprobabilite´enquestioncommeunemesure deschancespourque,`adiff´erentsinstantst, le prix du sous-jacent atteigne telle ou telle plage de valeurs. Nousverronsd’ailleursquecetteprobabilit´edu“mondere´el”n’intervientpasdansl’´evaluation(pricing)des options,pourlaquelleelleestremplac´eeparuneprobabilit´edite“risque-neutre.”
(a)
(b) Pay-off : (a) d’un call ; (b) d’un put ; (c) d’un forward
(c)
` Le processus du prix de l’option,ft=f(t, Stuitges),alrape´duqimanydeduprixdusous-jaectn.lAa dateT, ce prixfTe´estlagayapu:ffo-se’cenute´epuqdiitnoofcnspotprixndduSTdu sous-jacent. On doitalorsr´epondreauxdeuxquestionssuivantes:
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