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LogoINRIA Overview 1 PDE 1-2 PDE 2 ODE 3 FD 4 FD 5 FD 6 FV 7-8 FV 8-9 FV 10 Numerical Methods for PDE: Finite Differences and Finites Volumes B. Nkonga JAD/INRIA Lectures References: Roger Peyret (NICE ESSI : 89), Tim Warburton (Boston MIT : 03-05), Pierre Charrier (Bordeaux Matmeca 96-08) B. Nkonga Lectures References: Roger Peyret (NICE ESSI : 89), Tim Warburton (Boston MIT : 03-05), Pierre Charrier (Bordeaux Matmeca 96-08) 1 / 26

nkonga lectures

scalar nonlinear

advection-diffusion equation

multi-dimensional extensions

references

?su ?

finite difference

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LesalgorithmesLta´hoeirdelecamoexpl´eitnp:ud’eutsiheriolcaLessalassPLacaclaeNPLsEapssPedecuec´RarspontieunimocisessiotCrhexitomplAULCpheP3NIMU-ee´cnavae´NPladeieor´eTh45

September 24, 2007

Christophe PAUL

Complexite´avanc´ee-UMIN345Th´eoriedelaNP-Comple´tude(2)

om-C´epldetu)(2

seaLhte´roeiedalLesalgorithmotsih’dualcaLerixilempcopeune:t´esEPlcsaRee´pscaLaclssPNPLaasequelr´esusieQuescrpnomitcudsnoinnescaraeco−NPBoLscaalssdecuitnosnoitasire´tcirhCledeiroe´hT543NIe(udetl´mpCoP-aNpmelLUoCehAPtspoe-UMnc´eeavaxit´

La classeNPQuelquesr´eductionsLa classeco−NPBonnescaract´erisations

La classeP

Lath´eoriedelacomplexit´e:unpeud’histoire

Les algorithmes

R´eductionsparcimonieuses

La classe PEspace

ent3ontit:Vc3-saaFniT,teteBsosmmiesxetmmsoe2qusiraveuqahcruopixtement`aNentclaircuitno’d2PoCsnrtpa`airrtgrunheapcnatedIenu’dsnieteix,iixocolostnsdiﬀri´ement´ere.FteTrapeuqahca`,oseauclieocssnaailbxe.iB{T,F,e}stuntriangledeGaisni∀euqB{,i,ix,}Oxierbstiva:∀on

3-coloration

Montrer que3-sat6K

Exercice :

)2(edtu´eplom-CNPladeUAPemoCLsirhhpotivsutCangaleetdghTe´roeiU-IM3N54avanc´eeplexit´edeleoeirlpxecamorithalgoath´mesLseLsEapec´RdecuitnolaseNPLaclassePeriolcaLssacaLP´eitnp:ud’eusthierisact´scaronneN−BPesoclcsasnaLioctdu´esruelqueQsesueinomicrpsnappartioloratio31c-oitasn

LstahtemogirselaLcirsponseeunimoecapsEPeitcude´RLaclionsco−NasseqleuQseuudtcrse´itex:u´eeunphid’oe´hdeircalelpmoaclaseNPLaclasstsioeraLlcsasLPt´eraracnescPBonoisnsitatse}rtnugnaiedelinGaqusii,e∀,x{B{B,T,Fe´vana´cmolpxetiphePAULCtChristoustenavieleigdagna,oocssclueseauhcqaa`}xii,2()uted

Exercice :Montrer que3-sat6K3-coloration13-colorationappartientclairementa`NP2Constructiond’ungraphea`partird’uneinstanceIde3-sat:Vcontient 3 sommetsB,TetFainsi que 2 sommetsxietxipour chaque variablexi.

Observation:∀i,xietxisontcolori´esdiﬀ´erementparTetF.

NPladeie´eplom-C3NIMU-eeroe´hT54

´eductioPEspaceRaLlcsaeslcsaePNedr´tiucelQuesqueinosesupsnmicr´eriractescaBonn−oPNsscecaalnoLssnoitaseLeiede´ropmelalocoritsalgLathhmescaLeriotaLPssalune:t´xiis’hudpen:ioatrvseObctlosinoeixti∀x,emenﬀ´eresdiori´potsirhCoCLUAPehTetFtpar.(edu

Exercice :Montrer que3-sat6K3-coloration13-colorationappartientclairement`aNP2Constructiond’ungraphea`partird’uneinstanceIde3-sat:Vcontient 3 sommetsB,TetFainsi que 2 sommetsxietxipour chaque variablexi.{B,T,F}est un triangle deGainsi que∀i,{B,xi,xi}

`achaqueclause,onassocielegadgetsuivant

eledP-aNmpCoetl´-eMUNI43T5´hoeirmplexit´eavanc´e

isonietxori´tcolvrtabOesi∀x,oi:nac.`tFTelaecquhare´ﬀidseraptneme5T34INUMe-´encvaoC-PNaledeiroe´h

e(2)etudmpl´cisoegele,usasontnav∨1x(egdaiustristophex2∨x3)Chelix´taeAPLUoCpmnoLscuit´rdeuqseBonno−NPssecaclapsnoitcude´RecaelQuesusieonimrcire´itasacsetcarsonsalgLemhserotie´roaLhteLaclassPLaclasePNaLlcsaesEPpsdeiecolalempt´xinu:eduepsih’riot

aimoC.elsirhhpotAUePomLCexpl´eitcuitnoudrgpaehsetclairementpolynute´lpmo

Gest 3-coloriable ssiIest satisﬁableSiaucuntermedelaclauserec¸oitlacouleurT,alorslegraphen’est pas 3-coloriable.

Exercice :Montrer que3-sat6K3-coloration13-colorationappartientclairement`aNP2Constructiond’ungraphe`apartird’uneinstanceIde3-sat

)2(ed

´ceevana3N54U-IMorieTh´eNP-Cdelanosctracaestisari´ecessalcannoBPN−or´edquesonsLuctinoeicrmiuQlesuseoitcpsnRecaude´seasspPENPeclLaPaLlcsaLecaalss’histoire:unpeud´tixelpmocaledeior´ethLaeshmitorasgleLgearhpeets-3ocolriable.4Laconstrlcalesuac¸erltioouacurlealT,sloriSinsuaumomedenter

elquesr´eductionpcrminoeisuseuQacsp´eeRctdunsioesaaLPNsalcEPessitnoracaesnnsari´ectssalcaLsoBPN−oceaseLtois’hudpeune:t´lcaLPssalcaLerith´eesLaithmlgorelixocpmedalroei

Exercice :Montrer que3-sat6K3-coloration13-colorationappartientclairement`aNP2Constructiond’ungraphea`partird’uneinstanceIde3-sat

Gest 3-coloriable ssiIest satisﬁableSi aucun terme de la clause recoit la couleur T, alors le graphe¸n’est pas 3-coloriable.

e´lpmoC-)2(edutSiaumoinsuntermealedualceresioc¸actlleouT,uroral3-coeestraphslegocsn4.aLbaelolirheapgrduontiuctrloptnemerialctse.ChristoynomialemolpxetihpPeUACL-UeeN3MIav´ec´anedeiPNalhT54roe´

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