On the Mather Quotient

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On the Mather Quotient Ludovic Rifford Universite de Nice - Sophia Antipolis (Joint work with A. Fathi and A. Figalli) Ludovic Rifford On the Mather Quotient

tm ?

mather quotient

lipschitz function

universite de nice

smooth curves

legendre-fenchel duality

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~Intro Szego¨ cubic Lax pair Solitons M(1) M(1)
Sur l’equation´ de Szego¨ cubique
Sandrine Grellier
Universite´ d’Orleans´
´ ´en collaboration avec P. Gerard (Universite Paris sud)
Sandrine Grellier Sur l’equation´ de Szego¨ cubique~Intro Szego¨ cubic Lax pair Solitons M(1) M(1)
Motivation
Inﬂuence de la geom´ etr´ ie sur les propriet´ es´ qualitatives des
solutions de NLS
2i@ u + u =juj u; (t; x)2R M :t
Resultat´ gen´ er´ al (independant´ de la geom´ etr´ ie) :
r´Si le ﬂot est regulier sur H (M), alors
itke fk .kfk :4 r=2L ([0;1]M) H (M)
´ ´Burq-Gerard-Tzvetkov : ” Quasi-equivalence”
Sandrine Grellier Sur l’equation´ de Szego¨ cubique~Intro Szego¨ cubic Lax pair Solitons M(1) M(1)
Motivation
Inﬂuence de la geom´ etr´ ie sur les propriet´ es´ qualitatives des
solutions de NLS
2i@ u + u =juj u; (t; x)2R M :t
Resultat´ gen´ er´ al (independant´ de la geom´ etr´ ie) :
r´Si le ﬂot est regulier sur H (M), alors
itke fk .kfk :4 r=2L ([0;1]M) H (M)
´ ´Burq-Gerard-Tzvetkov : ” Quasi-equivalence”
Sandrine Grellier Sur l’equation´ de Szego¨ cubique~Intro Szego¨ cubic Lax pair Solitons M(1) M(1)
Motivation
Inﬂuence de la geom´ etr´ ie sur les propriet´ es´ qualitatives des
solutions de NLS
2i@ u + u =juj u; (t; x)2R M :t
Resultat´ gen´ er´ al (independant´ de la geom´ etr´ ie) :
r´Si le ﬂot est regulier sur H (M), alors
itke fk .kfk :4 r=2L ([0;1]M) H (M)
´ ´Burq-Gerard-Tzvetkov : ” Quasi-equivalence”
Sandrine Grellier Sur l’equation´ de Szego¨ cubique~Intro Szego¨ cubic Lax pair Solitons M(1) M(1)
Cas du groupe de Heisenberg
1Sur le groupe de HeisenbergH =C R , lez s
sous-laplacien. Pour les fonctions ”radiales” (R) ne dependant´
que de (jzj; s),
@2 1 1 L (H )\R = V ; =i(2m + 1) : m=0 m jVm @s
itSi f2 V , e f (z; s) = f (z; s (2m + 1)t), doncm
itke fk =kfk4 1 4 1L ([0;1] H ) L (H )
Injection de Sobolev sur le groupe de Heisenberg,
itke fk 4 1 .kfk ) r 2 !r=2 1L ([0;1] H ) H (H )
1´ `(espace de Sobolev adapte aH )
Pas de ﬂot regulier´ sur l’espace d’energie´ !
Sandrine Grellier Sur l’equation´ de Szego¨ cubique~Intro Szego¨ cubic Lax pair Solitons M(1) M(1)
Cas du groupe de Heisenberg
1Sur le groupe de HeisenbergH =C R , lez s
sous-laplacien. Pour les fonctions ”radiales” (R) ne dependant´
que de (jzj; s),
@2 1 1 L (H )\R = V ; =i(2m + 1) : m=0 m jVm @s
itSi f2 V , e f (z; s) = f (z; s (2m + 1)t), doncm
itke fk =kfk4 1 4 1L ([0;1] H ) L (H )
Injection de Sobolev sur le groupe de Heisenberg,
itke fk 4 1 .kfk ) r 2 !r=2 1L ([0;1] H ) H (H )
1´ `(espace de Sobolev adapte aH )
Pas de ﬂot regulier´ sur l’espace d’energie´ !
Sandrine Grellier Sur l’equation´ de Szego¨ cubique~Intro Szego¨ cubic Lax pair Solitons M(1) M(1)
Cas du groupe de Heisenberg
1Sur le groupe de HeisenbergH =C R , lez s
sous-laplacien. Pour les fonctions ”radiales” (R) ne dependant´
que de (jzj; s),
@2 1 1 L (H )\R = V ; =i(2m + 1) : m=0 m jVm @s
itSi f2 V , e f (z; s) = f (z; s (2m + 1)t), doncm
itke fk =kfk4 1 4 1L ([0;1] H ) L (H )
Injection de Sobolev sur le groupe de Heisenberg,
itke fk 4 1 .kfk ) r 2 !r=2 1L ([0;1] H ) H (H )
1´ `(espace de Sobolev adapte aH )
Pas de ﬂot regulier´ sur l’espace d’energie´ !
Sandrine Grellier Sur l’equation´ de Szego¨ cubique~Intro Szego¨ cubic Lax pair Solitons M(1) M(1)
Cas du groupe de Heisenberg
1Sur le groupe de HeisenbergH =C R , lez s
sous-laplacien. Pour les fonctions ”radiales” (R) ne dependant´
que de (jzj; s),
@2 1 1 L (H )\R = V ; =i(2m + 1) : m=0 m jVm @s
itSi f2 V , e f (z; s) = f (z; s (2m + 1)t), doncm
itke fk =kfk4 1 4 1L ([0;1] H ) L (H )
Injection de Sobolev sur le groupe de Heisenberg,
itke fk 4 1 .kfk ) r 2 !r=2 1L ([0;1] H ) H (H )
1´ `(espace de Sobolev adapte aH )
Pas de ﬂot regulier´ sur l’espace d’energie´ !
Sandrine Grellier Sur l’equation´ de Szego¨ cubique~Intro Szego¨ cubic Lax pair Solitons M(1) M(1)
Cas du groupe de Heisenberg
1Sur le groupe de HeisenbergH =C R , lez s
sous-laplacien. Pour les fonctions ”radiales” (R) ne dependant´
que de (jzj; s),
@2 1 1 L (H )\R = V ; =i(2m + 1) : m=0 m jVm @s
itSi f2 V , e f (z; s) = f (z; s (2m + 1)t), doncm
itke fk =kfk4 1 4 1L ([0;1] H ) L (H )
Injection de Sobolev sur le groupe de Heisenberg,
itke fk 4 1 .kfk ) r 2 !r=2 1L ([0;1] H ) H (H )
1´ `(espace de Sobolev adapte aH )
Pas de ﬂot regulier´ sur l’espace d’energie´ !
Sandrine Grellier Sur l’equation´ de Szego¨ cubique