On Riemannian manifolds satisfying the Transport Continuity Property

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On Riemannian manifolds satisfying the Transport Continuity Property Ludovic Rifford Universite de Nice - Sophia Antipolis (Joint work with A. Figalli and C. Villani) Ludovic Rifford Optimal transportation and applications (Banff 2010)

riemannian manifold

optimal transport

geodesic distance

transport continuity

universite de nice

compact connected

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nORiemannianmanifoldssatisfyingTransportContinuityPropertyLudovicRiﬀordUniversite´deNice-SophiaAntipolis(JointworkwithA.FigalliandC.Villani)uLodivciRoﬀdrpOitamlrtnapsroatitnonadpalpcitaointehsB(naﬀ210)0

StatementLudovicfoRiﬀordehtOptimalproblemtransportationdnaapplicationsﬀnaB()0102

)0102ﬀnaB(snoitacilppadnanoitatropsnartlamitpOdroﬀiRcivoduL.)x(0µd))x(T,x(cMZgniziminimdna,)M⊂nailerobB∀,)B(1−T�0µ=)B(1µ.e.i(1µ=0µ]TgniyfsitasM→M:Tpamelbarusemadnﬁ,Mno1µ,0µserusaemytilibaborpnaileroBowtneviG.M∈y,x∀2)y,x(gd21=:)y,x(cyb)∞,0[→M×M:ctsoccitardauqehtenﬁeddnaMnoecnatsidcisedoegehtgdybetoneDmanifoldfodimensionn.2≥Let(M,g)beasmoothcompactconnectedRiemannianOptimaltransportonRiemannianmanifolds

)0102ﬀnaB(snoitacilppadnanoitatropsnartlamitpOdroﬀiRcivoduL.)x(0µd))x(T,x(cMZgniziminimdna,)M⊂nailero1c(x,y):=dg(x,y)22b∀x,y∈M.BDenotebydgthegeodesicdistanceonManddeﬁnethequadraticcostc:M×M→[0,∞)by∀Let(M,g)beasmoothcompactconnectedRiemannianmanifoldofdimensionn≥2.,OptimaltransportonRiemannianmanifolds)B(1−T�0µ=)B(1µ.e.i(1µ=0µ]TgniyfsitasM→M:Tpamelbarusemadnﬁ,Mno1µ,0µserusaemytilibaborpnaileroBowtneviG

OptimaltransportonRiemannianmanifoldsLet(M,g)beasmoothcompactconnectedRiemannianmanifoldofdimensionn≥2.DenotebydgthegeodesicdistanceonManddeﬁnethequadraticcostc:M×M→[0,∞)by1c(x,y):=dg(x,y)2∀x,y∈M.2GiventwoBorelianprobabilitymeasuresµ0,µ1onM,ﬁndamesurablemapT:M→Msatisfying�T]µ0=µ1(i.e.µ1(B)=µ0T−1(B),∀Bborelian⊂M),andminimizingZMuLdc(x,T(x))dµ0(x).vociiRoﬀdrpOitamlrtnapsroatitnonadpalpcitaoisnB(naﬀ210)0

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