Numerical approximation of data interpolation least squares method

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Claire Chainais-Hillairet

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Chapter 1 Numerical approximation of data : interpolation, least squares method

numerical approximation

taylor series

square method

power functions

given point

functions

polynomial function

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Numerical analysis Taylor series Power function Function Polynomial

Chapter 1

Numerical approximation of data : interpolation, least squares method

1

I. Motivation

Approximation of functions

Evaluation of a function

Which functions (f:R→R) can be eﬀectively evaluated in any point ?

Evaluation of a function

Which functions (f:R→R) can be eﬀectively evaluated in any point ?

∈N

➞the power functions :f(x) =xm, m ➞the p 2x2+

functions : a0+a1x+a

olynomial f(x) =

+amxm ∙ ∙ ∙

Evaluation of a function

Which functions (f:R→R) can be eﬀectively evaluated in any point ?

➞the power functions :f(x) =xm, m∈N ➞the polynomial functions : f(x) =a0+a1x+a2x2+∙ ∙ ∙+amxm

How can we evaluate other functions in a given point ? for instance :f(x) = cos(x),f(x) = sin(x) exp(x),...

Evaluation of a function

Which functions (f:R→R) can be eﬀectively evaluated in any point ?

➞the power functions :f(x) =xm, m∈N ➞the polynomial functions : f(x) =a0+a1x+a2x2+∙ ∙ ∙+amxm

How can we evaluate other functions in a given point ? for instance :f(x) = cos(x),f(x) = sin(x) exp(x),...

➞approximation by a polynomial function : ★using a Taylor series about the given point, ★a polynomial having the same values as thesearching function in some close points ➡Lagrange interpolation

Principles of Lagrange interpolation

f(x) = sin(πx)(x2+ 3)

Principles of Lagrange interpolation

f(x) = sin(

πx)(x2+ 3)

4 points on the curve :

(−1,−4), (1,4), (2,0), (3,−12)

Principles of Lagrange interpolation

f(x) = sin(πx)(x

2+ 3)Lagrange interpolating polynomial

4 points on the curve :

(−1,4), − (1,4), (2,0), (3,−12)

Ppolynomial of degree≤3 satisfying P(−1) =−4 P(1) =4 P(2) =0 P(3) =−12

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