Nearly round spheres look convex

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Ludovic Rifford

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Nearly round spheres look convex Ludovic Rifford Universite de Nice - Sophia Antipolis (Joint work with A. Figalli and C. Villani) Ludovic Rifford Workshop on Optimal transportation and applications

nearly round spheres

?? expx

expx

round sphere

injectivity domains

geodesic between

compact riemannian

universite de nice

look convex

txm ??

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Antipolis Universidad de Niza Sophia Antipolis

Nearly

(Joint

round

spheres

Ludovic

look

Riﬀord

Universit´edeNice-SophiaAntipolis

work

with

A.

Ludovic Riﬀord

Figalli

and

C.

convex

Villani)

Workshop on Optimal transportation and applications

The statement

Theorem (Figalli, R, Villani ’09) Let(M,g)be a C4perturbation of the round sphereSn. Then all injectivity domains of M are uniformly convex.

Ludovic Riﬀord

Workshop on Optimal transportation and applications

Injectivity domains

Let (M,g) be a smooth compact Riemannian manifold and x∈M call exponential mapping from Webe ﬁxed.x, the mapping deﬁned as

expx

:TxM v

−→ 7−→

M expx(v) :=γv(1),

whereγv: [0,1]→Mis the unique geodesic starting atxwith speed ˙γv(0) =v.

Ludovic Riﬀord

Workshop on Optimal transportation and applications

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