Modeles Mathematiques Discrets pour la Finance et l'Assurance
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- contrat d'option
- evaluation du prix
- exemples de produits derives de taux
- option
Mod`eles Math´ematiques Discrets
pour la Finance et l’Assurance
Marc et Francine DIENER
28 mars 20102Table des mati`eres
1 Prix et couverture d’une option d’achat 5
1.1 Evaluation du prix dans un mod`ele a` une ´etape . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Mod`ele a` deux ´etapes : couverture dynamique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2 Formule fondamentale dans un mod`ele de Cox-Ross-Rubinstein 11
2.1 Le mod`ele de Cox-Ross-Rubinstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.2 Construction du portefeuille de couverture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.3 Probabilit´e risque neutre et formule fondamentale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.4Hypoth`esesdumod`ele...................................... 14
3 Marches al´eatoires. Filtration et information 17
3.1 D´efinitions et exemple du mod`ele CRR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.2 L’ensemble Ω, ou comment indexer tous les avenirs possibles. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.3 Caract´eriser ce qui sera connu et ce qui restera al´eatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
t
3.3.1 La relation∼ et la partition Ω| deΩ......................... 19t
S3.3.2 La tribuF ........................................ 19t
3.3.3 La tribu associ´ee a` une v.a. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
S3.4 F -mesurabilit´e.......................................... 20t
4 Esp´erance conditionnelle 21
4.1 Esp´erance d’une v.a. sachant un ´ev`enement . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4.2 Esp´ d’une v.a. par rapport a` une tribu . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
24.3 L’espace euclidien L(Ω)..................................... 22
4.4 Application au calcul de prix d’options . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
5 Martingales, arbitrage et compl´etude 25
5.1Martingales............................................ 25
5.2 March´e et “pertes et profits” d’un portefeuille . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
5.3March´essansarbitrage...................................... 28
5.4 March´es complets et non complets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
6 Options am´ericaines 31
6.1 Calcul du prix par r´ecurrence r´etrograde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
6.2 Th´eor`eme d’arrˆet optimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
6.3 Strat´egie de couverture avec consommation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
7 Options barri`eres 35
7.1 D´efinitions et exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
7.2 Mesurabilit´e et temps d’arrˆet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
7.3 Calcul du prix d’une option DIC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
7.4 Evaluation par le principe d’Andr´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
8 Black-Scholes comme limite de CRR 41
8.1 La formule de Black-Scholes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
8.2LimiteduprixCRR....................................... 41
8.3 Convergence vers Black-Scholes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
8.4Vitesedeconvergence...................................... 44
3`4 TABLE DES MATIERES
9 Le mod`ele de Ho et Lee 47
9.1 Actifs `a flux d´eterministes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
9.2Tauxal´eatoires.......................................... 48
9.2.1 Wherearetherisks?................................... 48
9.2.2 Courbes de taux et structure par terme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
9.3 Le mod`ele de Ho et Lee pour les z´ero-coupons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
9.3.1 Un model `a trois param`etres : π, δ,etn ....................... 51
9.4 Exemples de produits deriv´es de taux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
A Exercices 55
A.1 Les trajectoires d’un mod`ele `a n´etapes............................ 55
A.2 Les trajectoires du call d’un mod`ele `a n´etapes........................ 56
A.3 Calcul de prix par esp´erance conditionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
A.4LeDeltadecouverture...................................... 58
A.5Optionsam´ericaines....................................... 59
A.6 La formule de Black et Scholes; convergence des prix CRR vers BS . . . . . . . . . . . . . 61
A.7 Calcul de prix d’options barri`ere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
A.8 Mod`eles de Ho et Lee, et produits de taux d’int´erˆets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
A.9 Incidence du paiment d’un dividende sur le prix d’une action et d’une option . . . . . . . 66
A.10Examen2006-2007........................................ 67
A.11Examen2007-2008........................................ 67
A.12Examen2008-2009........................................ 69Chapitre 1
Prix et couverture d’une option
d’achat
Dans cette premi`ere le¸con, on explique comment on peut calculer le prix d’un contrat d’option en
´evaluant celui d’un portefeuille de couverture de cette option. On se place dans un cas tr`es simple, celui
d’une option d’achatsur un actiffinancierdont ona mod´elis´eladynamique aumoyend’un arbrebinaire.
Le taux d’int´erˆet mon´etaire est suppos´e constant pendant la dur´ee du contrat.
D´efinition : Une option d’achat (europ´eenne), encore appel´ee call, est un titre donnant droit `a son
d´etenteur d’acheter un actif financier `a une date future et `a un prix fix´e. Il s’agit d’un droit et non
d’une obligation. Le prix fix´e s’appelle le prix d’exercice de l’option et la date de fin du contrat la date
d’´ech´eance ou date d’exercice. L’actif financier sur lequel porte le contrat s’appelle l’actif sous-jacent.
Le propre d’un contrat d’option, tient a` ce qu’`a la date de souscription, la valeur a` l’´ech´eance de
l’actif sous-jacent n’est pas connue mais le paiment que pourra exiger le d´etenteur de l’option, s’il exerce
l’option, d´epend de cette valeur `a l’´echeance. C’est pourquoi on appelle aussi les options des contrats
contingents.On peut comprendre,dansun premiertemps, un tel contrat commeun contratd’assurance:
le vendeur de l’option est l’assureur, l’acheteur l’assur´e, ce dernier cherchant `a se couvrir contre une
envol´ee de la valeur du sous-jacent. Il s’agit alors d’un contrat de transfert de risque moyennant un prix.
Mais nous verrons plus loin qu’il y a une diff´erence essentielle entre un contrat d’assurance classique
(assurance habitation ou automobile) et un contrat d’option.
L’exemple le plus naturel d’actif financier est sans doute celui d’une action cot´ee en bourse, comme
l’action Micsft ou Netscp sur le NASDAQ ou AmOnLne sur le NYSE. Mais cela peut aussi ˆetre le cours
d’une mati`ere premi`ere comme le prix d’une tonne de zing ou celui d’un produit agricole tel le prix
de 50.000 livres de boeuf. Les premiers contrats d’option ´etaient des contrats sur cours agricoles d´ej`a
courants au si`ecle dernier. Les contrats d’option sur actions se sont vraiment d´evelopp´es lorsqu’ils ont
pu faire l’objet d’une n´egociation en bourse, c’est-`a-dire a` partir des ann´ees 70 sur le CBOT, `a Chicago,
puis progressivement dans la plupart des autres places financi`eres.
1.1 Evaluation du prix dans un mod`ele `a une ´etape
Pour´evaluerleprixd’uneoptiond’achat`al’instantinitial,c’est-`a-direlasommea`verserparl’acheteur
au vendeur, pla¸cons nous tout d’abord dans un cas tr`es simple. Notonst=0 l’instant de souscription de
l’option, t =T son ´ech´eance et K son prix d’exercice. Supposons que l’actif sous-jacent ait la valeur S0
a` l’instant initial et qu’il ne puisse prendre que deux valeurs S = S u ou S = S d a` l’´ech´eance, avecT 0 T 0
0<d<1<u. On verra qu’il est naturel de supposer en outre que Sd<K<Su. Soit C la valeur, `a0 0 0
d´eterminer,du call a` l’instantt=0; c’est le prix du contrat, ou la prime. A l’instant initial le vendeur ne
sait pas si S prendra la valeur S u ou S d, mais il peut ´evaluer ce qu’il devra `a l’acheteur dans chacunT 0 0
des deux cas: siS =S d, l’acheteurn’exercerapas(puisqu’il peut alorsacheter l’actif sous-jacentsur leT 0
march´ea` un prix inf´erieura`K) et donc la valeur de l’option est nulle; par contre siS =S u, l’acheteurT 0
r´eclameraau vendeur la diff´erence entre le prix de march´eet le prix convenuK, soitS u−K, somme lui0
permettant d’effectuer son achat a` ce prix. Comment le vendeur peut-il, avec la prime qu’il a re¸cue, faire
face a` ses engagements? L’id´ee est d’utiliser la prime pour constituer un portefeuille, appel´e portefeuille
de couverture Π, compos´e de a actifs S et de b unit´es mon´etaires, et de choisir sa composition a et b0
de telle fa¸con que sa valeur `a l’´ech´eance soit pr´ecis´ement celle de l’option, c’est-`a-dire 0 si S = S d etT 0
56 CHAPITRE 1. PRIX ET COUVE
