Methode du pivot de Gauss

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Methode du pivot de Gauss Dedou Octobre 2010

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Élimination de Gauss-Jordan Équation

Lycée Brizeux

Mathématiques

Le pivot de Gauss

PCSI A2010-2011

1 Calculdu rang Position du problème : On cherche à calculer le rang d’une matriceA∈ Mn,p(K). Quitte à transposer la matrice on peut supposern≤p. Méthode : Par une succession d’opérations élémentaires qui ne change pas le rang d’une matrice, on se ramène à une matrice triangulaire (ou échelonnée) dont on sait calculer le rang par simple lecture. On choisit de travailler surles lignesde la matrice. On peut aussi faire le choix de travailler sur les colonnes. Etape 0On supprime dansA: – leslignes (ou colonne) nulles; – touteligne (ou colonne) colinéaire à une autre. Etape 1En permutant les lignes ou les colonnes, on se ramène à une matrice   a1,1∙ ∙ ∙∗ ∗ A1= . .   ... ∗ ∙∙ ∙∗

aveca1,16= 0(de préférencea1,1= 1). Etape 2Pout touti∈J2, nK, on eﬀectue ai,1 Li←Li−L1 a1,1 On obtient la matrice :   a1,1∙ ∙ ∙∗ 0 0 A= 1. .   ... 0∙ ∙ ∙∗ Etape 3La matrice :   a1,1∙ ∙ ∙∗ 0 0 A= 1   .B 0 a le mme rang queA. On considèreB: –Ba au moins deux lignes et ne contient pas que des0: on reprendl’étape 1avecB. – Sinonon passe àl’étape 4. Etape 4: conclusion. On a une matrice échelonnéeC(avecci,i6= 0) de mme rang queA:   c1,1∗∙ ∙∗ ∙ 0c2,2∗ ∗ . . .0. C= .cr,r∙ ∙ ∙∗    0 0∙ ∙ ∙0∙ ∙ ∙0 0 0∙ ∙ ∙0∙ ∙ ∙0 Le rang de la matrice échelonnée estr: c’est le nombre de lignes non nulles.

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