Math IV Analyse Kholles Semaine

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Math IV - Analyse Kholles Semaine 1. *Exercice 1 Dans Rp donner la definition d'une boule ouverte de centre a et de rayon r. Demontrer qu'une boule ouverte est un ouvert. Exercice 2 Montrer en donnant un exemple que l'union d'une famille infinie de parties fermees de Rp n'est pas necessairement fermee. Exercice 3 On considere l'application suivante : N : R2 ?? R (x, y) 7?? |x+ y|+ |2x? y| Verifier que N definit une norme. Tracer la boule unite autour de l'origine par rapport a cette norme. Exercice 4 Trouver la meilleure constante C telle que ?x?2 ≤ C?x?∞ pour tout x ? Rn. Exercice 5 On considere l'application suivante : N : R2 ?? R (x, y) 7?? |x+ y|+ |x| Verifier que N definit une norme. Tracer la boule unite autour de l'origine par rapport a cette norme. *Exercice 6 Dans Rp donner la definition d'une boule fermee de centre a et de rayon r. Demontrer qu'une boule fermee est un ferme. Exercice 7 Montrer en donnant un exemple que l'intersection d'une famille infinie de parties ouvertes de Rp n'est pas necessairement ouverte. *Exercice 8 Donner la definition d'une partie ouverte de Rp.

espace metrique

boule unite

boule fermee de centre

r2 ?

limite limx?a

demonstration de l'equivalence

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Espace métrique Boule (topologie)

MathIV-AnalyseKhˆolles

Semaine 1.

*Exercice 1 DansRpunebond’ouveoulecenetrdertennodalreﬁe´ditinaet de rayonr.Drentmo´eenu’uqr boule ouverte est un ouvert. Exercice 2 Montrerendonnantunexemplequel’uniond’unefamilleinﬁniedepartiesferm´eesdeRpn’est ´ sairement f ´ . pas neces ermee Exercice 3 On considere l’application suivante : ` N:R2−→R (x, y)−7|→x+y|+|2x−y| V´eriﬁerqueNrmnoe.act`teetarraroppgiropeninﬁe´dronenutie´uanutied’lotruraceme.Toulerlab Exercice 4 Trouver la meilleure constanteCtelle quekxk2≤Ckxk∞pour toutx∈Rn. Exercice 5 Onconside`rel’applicationsuivante: N:R2−→R (x, y)|7→−x+y|+|x| V´riﬁer queNtinﬁe´demronenuinigareppprat`ortecaonet.emr.Tracerlabouleuntie´uaotrued’lro e *Exercice 6 DansRpdee´mrefeluobenuetrenecodnnond’nitid´eﬁerlaaet de rayonrtnerqr’uD.e´omuneboule ferm´eeestunferme. ´ Exercice 7 Montrer en donnant un exemple que l’intersection d’une famille inﬁnie de parties ouvertes deRp n’estpasn´ecessairementouverte. *Exercice 8 Donnerlad´eﬁnitiond’unepartieouvertedeRp. Donnerlade´ﬁnitiond’unepartieborn´eedeRp. Exercice 9 Onconside`rel’applicationsuivante: N:R2−→R (x, y)−→7max(|x+ 3y|,|x−y|) V´eriﬁerqueNarraineporigdel’onmrteet`tcapproe.e´nﬁtinudceraabrloren.Tmeuae´ruoteluotinu *Exercice 10 Donnerlade´ﬁnitiond’unespacenorm´eenexplicitantlestroisconditionsquid´eﬁnissentunenorme. *Exercice 11 Montrer que l’intersection de deux parties ouvertes deRpest un ouvert.

Exercice

´´

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