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Math I Analyse, Feuille 3: Suites numériques 1 Existence et calculs de limite Exercice 1. Etudier l'existence d'une limite pour les suites suivantes. a) un = nn+1 b) un = 3n?12n+3 c) un = sin(n) n d) un = ( 1 2 )n + ( 1 3 )n e) un = 1 + 13 + ( 1 3 )2 + · · ·+ ( 1 3 )n f) un = √ n+ 1? √ n g) un = 3n 2+2 5n+1 h) un = n cosn+ 2n. Exercice 2. Montrer que la suite (un)n≥0 définie par un = √ n2 + n ? n est convergente, et calculer sa limite (Indication : multiplier un par √ n2 + n+ n). Exercice 3. Montrer que les suites (un) suivantes sont convergentes, et calculer leur limite : un = n n2 + 1 + n n2 + 2 + · · ·+ n n2 + n , un = n∑ k=1 n √ n4 + k . Exercice 4. En n'utilisant que la définition d'une limite, montrer que : lim n??+∞ 1 n = 0, lim n??+∞ 2n = +∞, lim n??+∞ n 2 = +∞, lim n??+∞ 3n?

h2m ≤

limite commune

calculs de limite

formule du binôme de newton

?n ≥

suites récurrentes

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Formule du binôme de Newton

UniversitÉ Claude Bernard Lyon 1 - automne 2009 Licence Sciences, Technologies, Sant - mention mathmatiques

UE Math III Algbre - MAT2002L ————————

PLANCHE D’EXERCICESIII - POLYNôME MINIMAL- THORèME DECAYLEY-HAMILTON-

F Exercice 1.Dterminer le polynÔme minimal des matrices suivantes, oÙa6=b:       a 0 0a 1 0a 1 0a 1 0a 0 0       0 a 0, 0a 1, 0a 0, 0a 0, 0b 0, 0 0 a0 0 a0 0 a0 0 b0 0 b       a 1 0 0a 1 0 0a 1 0 0a 1 0 0a 1 0 0 0 a 1 00 a 1 00 a 0 00 a 0 00 a 0 0      , , , , .       0 0 a 10 0 a 00 0 a 10 0 b 10 0 b 0 0 0 0 a0 0 0 a0 0 0 a0 0 0 b0 0 0 b F Exercice 2.SoientEunK-espace vectoriel de dimensionnetuun endomorphisme nilpotent deE. 1. Sans utiliser le polynÔme minimal, montrer que le polynÔme caractristique deuest n n pu= (−1)X. Comment procder avec le polynÔme minimal ? 2. Par rcurrence, montrer qu’il existe une baseBdeEtelle que la matrice deudans la base Bsoit triangulaire suprieure avec des0sur la diagonale. 3. Inversement, montrer que tout endomorphisme deEdont la matrice dans une baseBde Eest triangulaire avec des0sur la diagonale est nilpotente d’indice de nilpotencep6n. F Exercice 3.SoitRn[X]leR-espace vectoriel form des polynÔmes de degr infrieur ou gal Àn. Soitu:Rn[X]→Rn[X]l’application qui À un polynÔmePassocie le reste de la division 2 euclidienne dePparX−1. 1. Montrer queuest linaire. 2 2. Calculeruet en dduire queuest diagonalisable. F Exercice 4.Trouver une condition ncessaire et sufﬁsante pour que les matrices relles sui-vantes soient diagonalisables :    a b c1 a b    A=,0 a dB=0 1 c. 0 0 a0 0 d F Exercice 5. 1. SoitJune matrice complexe deMn(C)dﬁnie par   0 10 .. .0 . . 0 01.. . . . . .. .0  . . 0. 1 1 0. . .0 p 1.1. CalculerJpour tout entierp∈{1, . . . , n}. 1.2. En dduire queJest diagonalisable. n−1 1.3. Montrer que1n,J, . . . ,Jsont linairement indpendants.

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