MAT244 Annee scolaire Mathematiques

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MAT244 - Annee scolaire 2005-2006 Mathematiques Feuille d'exercices n?4 Exercice 1. Pour chaque matrice symetrique suivante, determiner les valeurs propres et une matrice ortho- gonale P de changement de base qui la diagonalise : A1 = ? ? 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? A2 = ? ? 1 0 2 0 2 0 2 0 1 ? ? A3 = ? ? 5 ?1 2 ?1 5 2 2 2 2 ? ? . Exercice 2. Reduire les formes quadratiques suivantes avec des changements de base orthogonaux. 1. q( ? ? x y z ? ?) = x2 + y2 + z2 ? 2xy ? 2xz ? 2yz. 2. q( ? ? x y z ? ?) = 2x2 + 4y2 + z2 + 4xy ? 2 √ 2xz + 4 √ 2yz. Exercice 3. Trouver le genre des coniques suivantes : 1. x2 ? xy + y2 ? 3x + 2y ? 1 = 0 2. 3x2 + 5xy + 2y2 + 2x + y ? 1 = 0 Exercice 4. Trouver les equations reduites dans des reperes orthonormees des coniques suivantes.

changements de base orthogonaux

espace euclidien

matrice de la rotation de r2 d'angle ?

y2 ?

amtrice de la rotation de r3 d'axe oz et d'angle ?

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Espace euclidien

TD 4

Algorithmique

Exercice 1:Coupe minimale dans un graphe SoitGsegnuhparnecteconon-o´e,n´taeirneveneev´cmeleeltuieusplntteˆrasrulertnesensommets. UnecoupedansGestunensteˆruqselbmea’del`ene,evioisesnlGdevient non-connexe. Unecoupe minimaletedevuornureuocealimLee.obpreml`pemaximaleestdepuocenutseinemt´linadiarec NP-complet. L’ide´edel’algorithmeestdechoisiruniform´ementuneareˆteetdefusionnerlesdeuxsommets enunseulsommetenmettantsurcesommetlesarˆetesquiarrivaientauxdeuxsommetsinitiauxet enenlevantlesboucles.Onappellecetteop´erationunecontractionilesemmˆephraegO.qteuvnio initialn’avaitqu’uneseulearrˆeteentrechaquesommet,legrapheayantsubiunecontractionpeut encontenirauplusdeux.Ceprocessusdiminued’uneunit´elenombred’areˆte.L’algorithmeeﬀectue descontractionsjusqu’`acequelenombredesommetssoite´gala`2etretournecommevaleurle nombred’areˆtesentrecesdeuxpoints.

1.Montrerqu’unecontractiond’arˆetenediminuepaslavaleurd’unecoupeminimale. 2. Soitkla valeur d’une coupe minimale. Montrer queGa au moinskn/ra2teˆes. 3. SoitEirunearˆetaesdcehoisinedtnepee´´vnemel’Ca`ali-i`emeuo1re´atepp,≤i≤n−2. (a) Montrerque Pr[E1]≥1−2/n. i−1 (b) Montrerque Pr[E2|E1]≥1−2/(n−enemalern´´esglue)pt1[rPeuqtEi|∩ Ej]≥1−2/(n−i+1). j=1 2 (c)Montrerquelaprobabilite´trouverunecoupeminimaleparceproce´d´eestaumoins. n(n−1) 4.Montrercommentobtenirunalgorithmedontlaprobabilite´d’e´checsoit<1/eet donner sa complexit´e.

Exercice 2:nusnadevitisnartretuˆoClhegrap 3 1.Rappelerl’algorithmedeFloyd-WarshallpourcalculerlaclˆoturetransitiveenΘ(n) en temps. 2.Montrerques’ilexisteunalgorithmequicalculelacloˆturetransitived’unematricen×nenA(n) additions,multiplicationsd’e´l´ementsd’unsemi-anneauetsiA(3n)≤c∙A(nnu´reel)opruc >0 et toutnentier positifs, alors il existe un algorithme de multiplication avecM(n) =O(A(n)) additions et multiplications. 3. Montrerque si le produit de deux matricesn×nutpentreˆeela´lceucM(n) additions et mul-tiplications et si 4∙M(n/2)≤M(n) etM(2n)≤c∙M(n) pour uncet toutncalstoˆl,rolaure transitive se calcule enA(n) =O(M(n)) additions et multiplications. 4.Montrerquelesemi-anneaubool´eenB= ({0,1},∨,∧,0,1) n’est pas un anneau. log 72 5. SoitAetBdeux matricesn×nptuestcelaucbeoloelr´eeennes.LeproduinO(n∙(logn=) ) 2.82 O(neualsnqiuterlcoˆsbintions,aiairepo)are´tisiantr.ve

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