MAT Universite Joseph Fourier Feuille de TD Autour du modele de Malthus

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cours - matière potentielle : la meme annee

MAT 127 (Universite Joseph Fourier) Feuille de TD 1 : Autour du modele de Malthus (1) Solutions explicites La fonction inconuue est notee y, elle depend de la variable t. Exercice 1.1 (Equations lineaires du premier ordre) 1) y? + 3y = 1, y? + 4y = 2t, y? ? y = 2t + 1, 2y? ? y = 3et, y? + y = ? cos(2t), y? ? y = et. 2) Dans les exemples precedents, rechercher les solutions qui verifient y(0) = 1. 3) Soit l'equation y?+ 18y = t56? 45 sin t. Trouver les solutions de cette equation qui satisfont y(0) = 0. 4) y? = 2ty, y? = cos(t)y. Exercice 1.2 (Equations lineaires du second ordre) y???4y = 0, y??+ 9y = 0, y???2y?+y = 0, y??+y = t, y???2y?+y = et, y???y = cos t. Exercice 1.3 (Equations a variables separables, equations autonomes) y? = y2 ? 3y, y? = y ? y2 (Equation logistique), y? = ?ty, (1 + x)tx? + (1? t)x = 0, (1 + x)? (1? t)x? = 0.

taux de natalite et de mortalite dependant de la generation

y? ?

modele

an?1 adultes

borne superieure de l'age de la terre

vieux modeles d'evolution de populations

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Fourier Modèle

MAT127(Universit´eJosephFourier) FeuilledeTD1:Autourdumode`ledeMalthus

(1) Solutions explicites Lafonctioninconuueestnote´eyavirbaelepdnedale´delle,t.

Exercice1.1(Equationsline´airesdupremierordre) 0 0 0 0t0 1)y+ 3y= 1,y+ 4y= 2t,y−y= 2t2+ 1, y−y= 3e,y+y=−cos(2t), 0t y−y=e. 2)Danslesexemplespre´c´edents,rechercherlessolutionsquiv´eriﬁenty(0) = 1. 056 3)Soitl’´equationy+ 18y=t−45 sintuqnoiqe´eitautuoissloecttsned.Terlerouv satisfonty(0) = 0. 0 0 4)y= 2ty,y= cos(t)y.

Exercice1.2(Equationsline´airesdusecondordre) 00 00 00 0 00 00 0t00 y−4y= 0,y+ 9y= 0,y−2y+y= 0,y+y=t,y−2y+y=e,y−y= cost.

Exercice1.3(Equationsa`variablesse´parables,´equationsautonomes) 02020 0 y=y−3y,y=y−y(Equation logistique),y=−ty, (1 +x)tx+ (1−t)x= 0, 0 (1 +x)−(1−t)x= 0.

Exercice1.4(Etsipluscomplique´?) 02 Soitl’´equationy= 1/2 sin(y)−1. 1)Pouvez-vousre´soudrecette´equation?Sinon,existe-t-ilunesolution?Est-elle unique ? 2)Quepouvez-vousdiredel’allured’unesolution´eventuelledel’e´quation?Par exemple,quepeut-ondiredelamonotonied’unetellesolution?Est-elleborn´ee?

(2)Quelquesmode`lesdiscrets Exercice 2.1 (Evolution moyenne d’une population)

Premiersche´ma: On´etudieunepopulationquiaude´butdel’ann´eencompestdeesoe´An−1individus. Pendantl’anne´enneiassnaeca`i4dnividus.Aucoursdeˆmalaemee´nnennodnucahc, 900individusp´erissent.SoitAnonbmelindired’saudviduledtube´ee´nna’n+ 1. 1)D´eterminerAnen fonction deAn−1. 2)Onconside`relasuite(un)d´eﬁinpera

un= 4un−1−900 etu0= 1000

et la suite (vnpeinﬁe´d)arvn=un−que (300. Prouver vngte´)see´moqirtupeunesi de´duireunen fonction den. 3)Aud´ebutdelapremi`ereanne´e,ilyavait1000individusdanscettepopulation. 1

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