Mass Transportation on surfaces

pages

English

Documents

Écrit par
Ludovic Rifford

Publié par
pefav

Lire un extrait

Obtenez un accès à la bibliothèque pour le consulter en ligne En savoir plus

Découvre YouScribe en t'inscrivant gratuitement

Je m'inscris

Découvre YouScribe en t'inscrivant gratuitement

Je m'inscris

pages

English

Ebook

Lire un extrait

Obtenez un accès à la bibliothèque pour le consulter en ligne En savoir plus

Publié par

pefav

Nombre de lectures

Langue

English

Poids de l'ouvrage

1 Mo

Mass Transportation on surfaces Ludovic Rifford Universite de Nice - Sophia Antipolis Ludovic Rifford Mass Transportation on surfaces

lebesgue measure

optimal transport map

any measurable map

monge quadratic

quadratic cost

Voir

Publié par

pefav

Nombre de lectures

Langue

English

Poids de l'ouvrage

1 Mo

Antipolis Lebesgue measure

Mass

Transportation on surfaces

Ludovic Riﬀord

Universit´edeNice-SophiaAntipolis

uLdoviciRoﬀdraMssrTnasportationonsurfaces

oMgnqetransporuadraticRnitnrTssaMdratropsnaudLﬀoRiicov

measurable

⊂R

∀B

onsutiones

Letµ0andµ1beprobability measures with compact supportinRn. We calltransport mapfromµ0toµ1any measurable mapT:Rn→Rnsuch thatT]µ0=µ1, that is µ1(B) =µ0T−1(B),∀Bmeasurable⊂Rn.

rfac

TheBrenieTrehromeletunocyasi0losbhritpeesnutiswou(mrBneeihToeerumethatµr’91)AssrtnamilamtpapsrotsauexiseoptniquT.erusaeerehtneheLthtoctemguesebitno:ψ→MsRcuthahereisaconvexfuncftsoµmorµot0hT.1rtfoquheraadcctitionortaanspssTrdraMiRoﬀvociL?dutyrilaguRen.∈R.xe.a0µ)x(ψr=)x(Tt

Monge quadratic problem: Study of transport maps T:Rn→Rnwhich minimize thequadratictransport cost Z

dµ0(x).

|T(x)− |2 x n

usnocafr

oremeineehTrTrBehnoitcnufxevnocaseierThx.R∈a0e.x(µ)=)ψrtT(xhthaRsucψ:M→icovﬀoRiMardTrsseR.nalugytirduL?rfaces

Monge quadratic problem of transport maps: Study T:Rn→Rnwhich minimize thequadratictransport cost ZRn|T(x)−x|2dµ0(x).

Theorem (Brenier ’91) Assume thatµ0is absolutely continuous with respect to the Lebesgue measure. Then there exists a unique optimal transport map for the quadratic cost fromµ0toµ1.

napsroatitnonous

TheBrenimrehToeersnonafrusec

T(x) =rψ(x)µ0a.e. x∈Rn.

Theorem (Brenier ’91) Assume thatµ0is absolutely continuous with respect to the Lebesgue measure. Then there exists a unique optimal transport map for the quadratic cost fromµ0toµ1. There is a convex functionψ:M→Rsuch that