Maıtrise de Mathematiques Statistiques

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Mihai Gradinaru 1 Maıtrise de Mathematiques 2003-2004 Statistiques 7. Tests statistiques : construire et evaluer 7.1. Soit (X1, . . . ,Xn) n-echantillon de loi N (?,1) et soient ?0 > ?1. Construire le test de Neyman-Pearson pour tester H : ? = ?0 contre A : ? = ?1. Indiquer le test de niveau ? ?]0,1[ pour ? = ?0. Application : ?0 = 10, n = 25 et ? = 0,05. Que vaut la puissance de ce test pour ?1 = 9? 7.2. Soit (X1, . . . ,Xn) n-echantillon de loi N (?,1) et soit ?0 un reel fixe connu. On veut tester H : ? 6 ?0 contre A : ? > ?0. a) Montrer que le test de rapport de vraisemblance est ?(x) = { 1 si √ n(x? ?0) > c 0 sinon, ou c est une constante. b) Ecrire la fonction puissance ? : R? [0,1] de ce test et faire son graphe. Montrer que le test est sans biais. c) On veut que ?(?0) = 0,1 et que ?(?0 + 1) = 0,8. Montrer qu'alors c = 1,28 et n = 5.

animaux mesuree au bout

montrer par calcul direct

constante

choix de la constante

memes conditions

region de rejet

puissance au point

test en ?

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Pearson Constante

Mihai Gradinaru

MaıˆtrisedeMath´ematiques2003-2004 Statistiques 7.Testsstatistiques:construireete´valuer 7.1.Soit (X1, . . . ,Xn)nleiotanhlcieo´l-dnN(θ,1) et soientθ0> θ1. Construire le test de Neyman-Pearson pour tester H:θ=θ0:contre Aθ=θ1. Indiquer le test de niveauα∈]0,1[ pourθ=θ0. Application:θ0= 10,n= 25 etα= 0,05. Que vaut la puissance de ce test pour θ1= 9?

7.2.Soit (X1, . . . ,Xn)nnahce´-ondetillloiN(θ,1) et soitθ0e´leurnnO.utueve´xﬁnnoc tester H:θ6θ0:contre Aθ > θ0. a)Montrer que le test de rapport de vraisemblance est √ 1 sin(x−θ0)> c φ(x) = 0 sinon, o`ucest une constante. ´ b)Ecrire la fonction puissanceβ:R→[0,1] de ce test et faire son graphe. Montrer que le test est sans biais. c)On veut queβ(θ0) = 0,1 et queβ(θ0+ 1) = 0,8. Montrer qu’alorsc= 1,28 etn= 5. d)On ne ﬁxe plusn. Trouvercpour que le test soit de niveauα∈]0,1[ pourθ6θ0. S’agit-il d’un test u.p.p. contreθ > θ0? e)Application :θ0= 9,n= 25 etα= 0,05. Que vaut la puissance de ce test enθ1= 10?

7.3.Soit (X1, . . . ,Xn)n-hce´itnallondeloiN(θ,1) et soitθ0urne´lexﬁerstettuevnO.unnoce´ H :θ>θ0contre A:θ < θ0. Montrer que le test de rapport de vraisemblance est √ 1 six < θ0−gα/ n ψ(x) = 0 sinon, ´ o`ugαest telle que P(G > gα) =α, avecGvariable gaussienne standard. Ecrire la fonction puissance de ce test et montrer que ce test est de niveauαpourθ>θ0et u.p.p. contreθ < θ0.

7.4.Soit (X1, . . . ,Xn)nednoiol-´echantillN(θ,1) et soitθ0.unOocnnevtunruel´e´eﬁx construire des tests pour tester H:θ=θ0contre A:θ6=θ0. a)cOrn´eit{θ=θ0}={θ6θ0} ∩ {θ>θ0}. Utiliser l’exercice7.2pour construire un test 0 deθ6θ0contreθ > θ0avec une constantecet ensuite l’exercice7.3pour construire 00 un test deθ>θ0contreθ < θ0avec une constantec.End´eduirequige´raleedno √ √ 0 00 rejetdutestrecherch´eest{n(x−θ0)> c} ∪ {n(x−θ0)< c}. Que devient ce test 0 00 lorsqu’on posec=−c >0? b)Construire directement le test du rapport de vraisemblanceφet comparer avec le test trouve´aupointpre´c´edent.Quelestlechoixdelaconstantepourqueletestsoitde niveauαpourθ=θ0. c)Montrer par calcul direct que ce test satisfait les conditions suivantes Eθ[φ(X)] =αet 0 Eθ0[Xφ(X)] =αEθ0[Xustlree´aplriuerd´ed].Entsetsnastiganu’du’sqs’ilduaturco biais de niveauαpourθ=θ0u.p.p. contreθ6=θ0. Dessiner le graphe de sa fonction puissance.

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