M2R notes du cours Intégrabilité et Algèbres Quantiques

pages

Français

Documents

Lire un extrait

Obtenez un accès à la bibliothèque pour le consulter en ligne En savoir plus

Découvre YouScribe en t'inscrivant gratuitement

Je m'inscris

Découvre YouScribe en t'inscrivant gratuitement

Je m'inscris

pages

Français

Ebook

Lire un extrait

Obtenez un accès à la bibliothèque pour le consulter en ligne En savoir plus

Publié par

profil-urra-2012

Nombre de lectures

Langue

Français

INTEGRABILITE ET ALGEBRES QUANTIQUES DAMIEN CALAQUE 1. Systemes locaux et equations de Knizhnik-Zamolodchikov 1.1. Faisceaux. 1.1.1. Definition et exemples. Soit X un espace topologique, qu'on supposera localement connexe et localement connexe par arcs. Definition 1.1. Un faisceau F sur X est la donnee • d'un ensemble de sections F(U) pour tout ouvert U de X, • d'applications de restrictions rU,V : F(U) ? F(V ) pour tout inclusion V ? U , satisfaisant les conditions suivantes : (associativite) rV,W ? rU,V = rU,W si W ? V ? U , (recollement) soit U un ouvert de X, (Ui)i?I un recouvrement de U par des ouverts, et si ? F(Ui), i ? I, des sections tels que pour tout (i, j) ? I2, rUi,Uij (si) = rUj ,Uij (sj) . Alors il existe une unique section s ? F(U) telle que rU,Ui(s) = si quel que soit i ? I. On parle de faisceau en groupes (resp. en espace vectoriels, en algebres, etc...) si les ensembles des section sont des groupes (resp. des espace vectoriels, des algebres, etc..

systeme complet d'equations aux derivees partielles

yi ? g?

plusa gauche gauche

x? ?

systeme local

representation du groupe fondamental

Voir

Publié par

profil-urra-2012

Nombre de lectures

Langue

Français

´ ´ ` INTEGRABILITE ET ALGEBRES QUANTIQUES

DAMIEN CALAQUE

1. Syste`meslocauxet´equationsdeKnizhnik-Zamolodchikov 1.1. Faisceaux. 1.1.1. De´ﬁnitionetexemples. Soit X un espace topologique, qu’on supposera localement connexe et localement connexe par arcs. De´ﬁnition1.1. Un faisceau F sur X estladonne´e • d’un ensemble de sections F ( U ) pour tout ouvert U de X , • d’applications de restrictions r UV : F ( U ) → F ( V ) pour tout inclusion V ⊂ U , satisfaisant les conditions suivantes : (associativite´) r VW ◦ r UV = r UW si W ⊂ V ⊂ U , (recollement) soit U un ouvert de X , ( U i ) i ∈ I un recouvrement de U par des ouverts, et s i ∈ F ( U i ) , i ∈ I , des sections tels que pour tout ( i, j ) ∈ I 2 , r U i U ij ( s i ) = r U j U ij ( s j )  Alors il existe une unique section s ∈ F ( U ) telle que r UU i ( s ) = s i quel que soit i ∈ I . Onparledefaisceauengroupes(resp.enespacevectoriels,enalge`bres,etc...)siles ensemblesdessectionsontdesgroupes(resp.desespacevectoriels,desalg`ebres,etc...)etsi les applications de restriction sont des homomorphismes de groupes (resp. des applications line´aires,desmorphismesd’alge`bres,etc...). Enl’absenced’ambiguı¨te´,onnote s | V := r UV ( s ) la restriction d’une section s ∈ F ( U )`a un plus petit ouvert V ⊂ U . Exemples 1.2. (i) X ⊃ U 7→ C 0 ( U ) = { fonctions continues sur U } de´ﬁnitunfaisceau(en alg`ebres). (ii) X ⊃ U 7→ C ∞ ( U ), avec X unevarie´t´ediﬀe´rentiable(parexempleunouvertde R n ), de´ﬁnitunfaisceau(enalge`bres). (iii) X ⊃ U 7→ Hol( U ), avec X unevarie´t´eanalytiquecomplexe(parexempleunouvert de C n ),de´ﬁnitunfaisceau(enalg`ebres). (iv) R ⊃ U 7→ { fonctionscontinuesetinte´grablessur U } n’est PAS un faisceau sur R . (v) soit p : Y → X unhome´omorphismelocal,c.-a.-d.uneapplicationcontinuetelleque pour tout y ∈ Y il existe un voisinage ouvert W de y tel que p | W estunhome´omorphisme sur son image. On note F ( U ) l’ensemble des applications continues s : U → p − 1 ( U ) telle que p ◦ s = id U , qu’on appelle les sections de p . Montrer que la restriction de s a`unplus petit ouvert V ⊂ U est`avaleursdans p − 1 ( V ).End´eduireque F est un faisceau sur X . (vi) soit E unensembleﬁx´e. X ⊃ U 7→ E , avec r UV = id E , est un faisceau. On note ce faisceau E , qu’on qualiﬁe de faisceau constant. (vii) soit F un faisceau sur X et U un ouvert de X . Alors F | U : U ⊃ V 7→ F | U ( V ) = F ( V ) d´eﬁnitunfaisceausur U , qu’on appelle la restriction de F `a U . 1

Voir