M2AO TD5 Introduction aux éléments finis

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M2AO, TD5 Introduction aux éléments finis Exercice 1 Analyse fonctionnelle. Soit (V, ? · ?) un espace de Banach, L une forme linéaire continue sur V et a une forme bilinéaire continue et coercitive sur V ? V . On cherche à approcher l'unique u tel que pour tout v ? V , l'on ait a (u , v) = L (v) . (1) 1. Justifier que, pour tout sous-espace fermé W de V , il existe un unique u — noté uLW — tel que l'égalité (1) soit vérifiée pour tout v ?W . 2. Montrer qu'il existe une constante K > 0 telle que, pour tout sous espace fermé W , on ait ? ?uLV ? u L W ? ? ≤ K inf v?W ? ?uLV ? v ? ? . 3. Montrer qu'il existe une constante K ? > 0 (indépendante de L) tel que, pour tout sous- espace fermé W et toute forme linéaire continue LW , on ait ? ? ?uLW ? u LW W ? ? ? ≤ K ? |L ? LW | où | · | est la norme duale de ? · ?. Exercice 2 Une application en dimension 1. Soit b, c et f des fonctions réelles continues sur ]0, 1[, avec b > 0 et c ≥ 0.

dimension de wn

base duale

version matricielle du problème

application en dimension

norme duale de ? ·

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Base duale

Université Claude Bernard Lyon 1  2007/2008 Licence Sciences et Technologie  UE Mathématiques III, Algèbre

Feuille d’exercices 5 ————————

 Quelques applications de la réduction des endomorphismes 

⋆ Exercice 1.Résoudre le système diﬀérentiel   1 d   X(t) =AX(t) +t , dt 1

pour les matricesAsuivantes, étudiées dans les planches précédentes,     2 1 1−1 1 3     1 2 1,−2 2 2. 1 1 2−2 1 4

Exercice 2. 1. Montrer qu’une équation diﬀérentielle d’ordrenréelle (resp. complexe), donnée par

n n−1 d d d z(t) +cn−1z(t) +. . .+c1z(t) +c0z(t) =f(t), n n−1 dt dt dt où lescisont réels (resp. complexes) etfune fonction continue à valeurs réelles (resp. complexes), peut s’écrire sous la forme d’un système linéaire à coeﬃcients constants de la forme d X(t) =AX(t) +V(t). dt 3 2. Déterminer les fonctionsxdeC(R,C)solutions de l’équation

3 2 d d d x(t) +x(t)−x(t)−x(t) = cost, 3 2 dt dt dt ⋆ Exercice 3.On considère dansMn(R),n>2, la matrice   a b . . . b . . b a.. A=   . . . . . ..b b . . . b a

t∈R.

Déterminer la solution du système d X(t) =AX(t), dt prenant ent= 0la valeurx0, contenue dans l’hyperplan d’équationx1+. . .+xn ⋆ Exercice 4.On considère la matrice réelle   −7 4 3   A= 2−5 3. 5 1−6

2 1. Montrer que le polynôme caractéristique deAestPA=−X(X+ 9). 2. Déterminer la dimension du sousespace propre associé à la valeur propre−9. 3. La matriceA?estelle diagonalisable

= 0.

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