M2AO Correction TD2 Introduction aux schémas numériques

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M2AO, Correction TD2 Introduction aux schémas numériques Exercice 1 Modèle de Lorentz. 1. Le théorème de Cauchy-lipschitz s'applique à l'équation différentielle Y ?(t) = f(Y (t)), où la fonction f : R3 ? R3 est définie par f : ? ? ya yb yc ? ? 7?? ? ? ?? ya + ? yb ?ya yc + r ya ? yb ya yb ? ? yc ? ? , puisque f est de classe C1. Cela nous assure l'unicité des solutions maximales aux problèmes de Cauchy associés. 2. Soit ∆t > 0 un pas de temps. Le schéma d'Euler explicite définit une suite (vn) d'approxi- mations de (Y (n∆t), où Y est une solution du système Y ? = f(Y ), par v0 = Y (0) et, pour tout n ? N, vn+1 = vn + ∆t f(vn) , c'est-à-dire ? ? ? vn+1a = v n a + ∆t (?? v n a + ? v n b ) vn+1b = v n b + ∆t (? v n a v n c + r v n a ? v n b ) vn+1c = v n c + ∆t (v n a v n b ? ? v n c ) .

théorème de cauchy-lipschitz

condition initiale

moyenne arithmétique des pentes aux points tn

classe c1

unique solution

unicité des solutions aux problèmes de cauchy

solution régulière de l'équation

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Théorème de Cauchy-Lipschitz Condition initiale

M2AO, Correction TD2 Introduction aux schÉmas numÉriques

Exercice 1ModÈle de Lorentz.

0 1. Le thÉorÈme de Cauchy-lipschitz s’applique á l’Équation diﬀÉrentielleY(t) =f(Y(t)), oÙ 3 3 la fonctionf:R→Rest dÉﬁnie par    ya−σ ya+σ yb    f:yb7→−−yayc+r ya−yb, ycyayb−β yc 1 puisquefest de classeC. Cela nous assure l’unicitÉ des solutions maximales aux problÈmes de Cauchy associÉs.

n 2. SoitΔt >0un pas de temps. Le schÉma d’Euler explicite dÉﬁnit une suite(v)d’approxi-00 mations de(Y(nΔt), oÙYest une solution du systÈmeY=f(Y), parv=Y(0)et, pour tout n∈N, n+1n n v=v+ Δt f(v), c’est-á-dire  n+1n nn v=v+ Δt(−σ v+σ v) a aa b n+1n nn nn v=v+ Δt(−v v+r v−v). b ba ca b  n+1n nn n v=v+ Δt(v v−β v) c ca bc

Exercice 2Pont de Tacoma.   θ 1. Le systÈme est un systÈme du deuxiÈme ordre enX=. Pour le ramener á un systÈme y du premier ordre, nous allons le rÉcrire en termes de    Z1θ 0 Z2θ  Z= :=.    Z3y 0 Z4y 04 4 Avec ces notations, le systÈme devient doncZ(t) =F(t, Z(t)), oÙF:R×R→Rest dÉﬁnie par   Z2 6K −δ Z2+ cosZ1sinZ1+λsin(ω t) m F(t, Z) =.   Z4 2K −δ Z4−Z3+g m Remarque: En procÉdant de mme, on peut rÉcrire un systÈme de tout ordre comme un systÈme du premier ordre.

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