Linear Algebra Appl
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Linear Algebra Appl., 311(????), 25–34 Le 7 Fevrier 2000 Generalisation de l'identite de Scott sur les permanents Guo-Niu HAN Resume. — On redemontre et generalise une identite de Scott sur les permanents a l'aide d'un theoreme recent de Lascoux. Nous obtenons par exemple le resultat suivant : Soient x1, . . . , xn et y1, . . . , yn les racines de xn ? 1 = 0 et de yn + y ? 1 = 0, respectivement. Alors le permanent de la matrice formee par 1/(xi ? yj) est egale a nn. Abstract. — The Scott identity on permanents is reproved and generalized by means of a recent theorem due to Lascoux. For example, the following result is derived : let x1, . . . , xn and y1, . . . , yn be the roots of the polynomials xn?1 and yn + y ? 1, respectively. Then the permanent of the matrix (1/(xi ? yj)) is equal to nn. 1. Introduction En 1881, Scott [12] a donne, sans demonstration, le resultat suivant : Soient x1, . . . , xn et y1, . . . , yn, les racines de xn ? 1 = 0 et de yn +1 = 0 respectivement.
Voir
- scott identity
- matrice de dimension n?
- direct
- racines yk du polynomes yn
- theoreme
- identite de scott
- theoreme de lascoux
- racines de xn ?
Linear Algebra Appl.,311(), 25–34
Le7F´evrier2000
G´ene´ralisationdel’identit´edeScottsurlespermanents
GuoNiu HAN
Re´sume´.—Onrede´montreetge´n´eraliseuneidentit´edeScottsurles permanents`al’aided’unthe´ore`mer´ecentdeLascoux.Nousobtenonsparexemple n ler´esultatsuivant:Soientx1, . . . , xnety1, . . . , ynles racines dex−1 = 0 et n dey+y−pelsrolAtnenamrectpees,rt.enemivreeap10=matrdelaorm´icef n 1/(xi−yjag)e´ste`elan.
Abstract. — The Scott identity on permanents is reproved and generalized by means of a recent theorem due to Lascoux. For example, the folowing result n is derived : letx1,. . .,xnandy1,. . .,ynbe the roots of the polynomialsx−1 n andy+y−1, respectively. Then the permanent of the matrix (1/(xi−yj)) is n equal ton.
1. Introduction En1881,Scott[12]adonne´,sansd´emonstration,ler´esultatsuivant: n Soientx1, . . . , xnety1, . . . , yn, les racines dex−1 = 0et de n y+ 1 = 0respectivement. SoitAla matrice de dimensionn×n dont le coefficient en(i, j)est1/(xi−yj). Alors on a ( 2 n(1∙3∙5∙ ∙ ∙(n−2)) n−1 2 (−1),sinest impair, per(A) =n 2 0,sinest pair.
En 1978, Minc [10, p. 155], dans son livrePermanents, a inclus cere´sultatdansunelistedeconjecturessurlespermanents.D`eslors, plusieursde´monstrationsonte´t´eobtenues[2,6,13],dontuneparMinclui meˆme[11].Curieusement,lesde´monstrationspropos´eesonttoutesutilise´ n n lefaitquelesracinesdecesdeuxpolynˆomesx−1 ety+ 1 avaient des formesexplicitessimples,`apartirdesquellesonpouvaitobtenirlavaleur de per(A).
Danslepr´esentarticle,onred´emontrel’identite´deScott,sanspartir desexpressionsanalytiquesdecesracines,enop´erantseulementdans
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