LES BORNES ATTEINTES IL N'Y A PLUS DE LIMITE

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Equipe Académique Maths Bordeaux 1996-1998

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LES BORNES ATTEINTES, IL N'Y A PLUS DE LIMITE Objectif Montrer que l'on peut obtenir des fonctions discontinues à partir de fonctions continues par passages à la limite de suites ou de fonctions, ou par dérivation. Outils Limites, limite à droite, limite à gauche, continuité, démonstration par récurrence. Il ne faut pas penser que toutes les fonctions sont continues. Mieux, les fonctions discontinues ne sont pas des objets mathématiques aussi rares, aussi abstraits, aussi artificiels qu'on pourrait le croire. Elles peuvent intervenir naturellement, par exemple en électronique, en physique plus généralement, mais aussi en mathématiques. Les exercices de cette séquence présentent différentes situations mathématiques où la continuité mène à la discontinuité. Les différentes parties sont indépendantes. On rappelle qu'une fonction f est continue en a si f admet pour limite f (a) en a. A. Non continuité d'une fonction limite de fonctions continues Pour tout entier naturel n non nul, on considère la fonction f n définie sur [ 0 ; + ∞ [ par 1( ) 1= +n nf x x . On note C n la courbe représentative de f n dans un repère. 1. a. Soit n ? N*. Déterminer le sens de variation de f n. Démontrer que les courbes C n passent par deux points fixes.

outils limites

abscisse

repère orthonormal

limite en zéro

récurrence

réel ? de l'intervalle

tangente au point d'abscisse

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Objectif

Outils

LES BORNES ATTEINTES,IL N’Y A PLUS DE LIMITE

Montrer que l’on peut obtenir des fonctions discontinues à partir de fonctions continues par passages à la limite de suites ou de fonctions, ou par dérivation. Limites, limite à droite, limite à gauche, continuité, démonstration par récurrence.

Il ne faut pas penser que toutes les fonctions sont continues. Mieux, les fonctions discontinues ne sont pas des objets mathématiques aussi rares, aussi abstraits, aussi artificiels qu’on pourrait le croire. Elles peuvent intervenir naturellement, par exemple en électronique, en physique plus généralement, mais aussi en mathématiques. Les exercices de cette séquence présentent différentes situations mathématiques où la continuité mène à la discontinuité. Les différentes parties sont indépendantes. On rappelle qu’une fonctionfest continue enasifadmet pour limitef(a) ena. A. Noncontinuité d’une fonction limite de fonctions continues 1 Pour tout entier naturelnnon nul, on considère la fonctionfdéfinie sur[0;+∞[parf(x)=. nn n 1+ On noteCla courbe représentative defdans un repère. n n 1. a. Soitn∈N*. Déterminer le sens de variation def. n Démontrer que les courbesCpassent par deux points fixes. n b. Soitn etmentiers naturels non nuls avec deuxn<m. Comparerf(x) etf(x) suivant les m n valeurs dex. En déduire les positions relatives deCetC. n m c. Esquisserles courbesC,C,C. Préciser les tangentes aux points d'abscisses0et1. 1 2 3 2. a. Démontrerque, pour tout réelx positif,f(x) admet une limitef(x). On définit ainsi une n fonctionfsur[0;+∞[. Expliciter la fonctionf. Tracer sa courbe représentativeC. b. Étudierla continuité defsur[0;+∞[.

II  Continuité et limites

Les bornes atteintes, il n’y a plus de limite

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