Le theoreme fondamental de l'algebre rendu effectif une preuve reelle algebrique par les suites de Sturm
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Français
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Le theoreme fondamental de l'algebre rendu effectif : une preuve reelle algebrique par les suites de Sturm Michael Eisermann Institut Fourier, Universite Grenoble I www-fourier.ujf-grenoble.fr/˜eiserm 23 janvier 2009 Carl Friedrich Gauß (1777–1855) Augustin Louis Cauchy (1789–1857) Charles-Franc¸ois Sturm (1803–1855) Seminaire de calcul formel et complexite, Universite Rennes I
Voir
- racines complexes de polynomes complexes
- racines reelles de polynomes reels
- theoreme fondamental de l'algebre
- seminaire de calcul formel
Le théorème fondamental de une preuve réelle algébrique
l’algèbre rendu effectif : par les suites de Sturm
Michael Eisermann
Institut Fourier, Université Grenoble I wwwfourier.ujfgrenoble.fr/˜eiserm
23 janvier 2009
Carl Friedrich Gauß (1777–1855) Augustin Louis Cauchy (1789–1857) CharlesFranc¸ ois Sturm (1803–1855) Séminaire de calcul formel et complexité, Université Rennes I
Plan
1
2
3
4
Le théorème fondamental de l’algèbre
Sturm 1829/1835 : racines réelles de polynômes réels
Sturm 1836 : racines complexes de polynômes complexes
Conclusions et perspectives
Plan
1
2
3
4
Le théorème fondamental de l’algèbre Le théorème et son histoire Racines réelles de polynômes réels Racines complexes de polynômes complexes
Sturm 1829/1835 : racines réelles de polynômes réels
Sturm 1836 : racines complexes de polynômes complexes
Conclusions et perspectives
Le théorème fondamental de l’algèbre
Théorème (version brève) Toutpolynômecomplexededegrénadmetnracines complexes.
Le théorème fondamental de l’algèbre
Théorème (version brève) Toutpolynômecomplexededegrénadmetnracines complexes.
Théorème (version longue) 2 SoitRle corps des nombres réels et soitC=R[i]oùi=−1.
Le théorème fondamental de l’algèbre
Théorème (version brève) Toutpolynômecomplexededegrénadmetnracines complexes.
Théorème (version longue) 2 SoitRle corps des nombres réels et soitC=R[i]oùi=−1. Alors pour tout polynôme n n−1 F=Z+c1Z+∙ ∙ ∙+cn−1Z+cn à coefficientsc1, . . . , cn−1, cn∈C
Le théorème fondamental de l’algèbre
Théorème (version brève) Toutpolynômecomplexededegrénadmetnracines complexes.
Théorème (version longue) 2 SoitRle corps des nombres réels et soitC=R[i]oùi=−1. Alors pour tout polynôme n n−1 F=Z+c1Z+∙ ∙ ∙+cn−1Z+cn à coefficientsc1, . . . , cn−1, cn∈Cil existez1, z2, . . . , zn∈Ctels que F= (Z−z1)(Z−z2)∙ ∙ ∙(Z−zn).
Le théorème fondamental de l’algèbre
Théorème (version brève) Toutpolynômecomplexededegrénadmetnracines complexes.
Théorème (version longue) 2 SoitRle corps des nombres réels et soitC=R[i]oùi=−1. Alors pour tout polynôme n n−1 F=Z+c1Z+∙ ∙ ∙+cn−1Z+cn à coefficientsc1, . . . , cn−1, cn∈Cil existez1, z2, . . . , zn∈Ctels que F= (Z−z1)(Z−z2)∙ ∙ ∙(Z−zn).
Questions naturelles :
Le théorème fondamental de l’algèbre
Théorème (version brève) Toutpolynômecomplexededegrénadmetnracines complexes.
Théorème (version longue) 2 SoitRle corps des nombres réels et soitC=R[i]oùi=−1. Alors pour tout polynôme n n−1 F=Z+c1Z+∙ ∙ ∙+cn−1Z+cn à coefficientsc1, . . . , cn−1, cn∈Cil existez1, z2, . . . , zn∈Ctels que F= (Z−z1)(Z−z2)∙ ∙ ∙(Z−zn).
Questions naturelles : Existetil une démonstration élémentaire ? qui capte la géométrie ?
Le théorème fondamental de l’algèbre
Théorème (version brève) Toutpolynômecomplexededegrénadmetnracines complexes.
Théorème (version longue) 2 SoitRle corps des nombres réels et soitC=R[i]oùi=−1. Alors pour tout polynôme n n−1 F=Z+c1Z+∙ ∙ ∙+cn−1Z+cn à coefficientsc1, . . . , cn−1, cn∈Cil existez1, z2, . . . , zn∈Ctels que F= (Z−z1)(Z−z2)∙ ∙ ∙(Z−zn).
Questions naturelles : Existetil une démonstration élémentaire ? qui capte la géométrie ? Peuton affaiblir l’hypothèse ? à quels corps ordonnés au lieu deR?
