LE THEOREME DES NOMBRES PREMIERS VU PAR KAHANE
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LE THEOREME DES NOMBRES PREMIERS VU PAR KAHANE ELIMANE BA ET MICHEL RAIBAUT 1
Voir
- kahane
- analyse harmonique pour la preuve
- vallee poussin
- point essentiel de la demonstration d'hadamard et de la vallee poussin
- analyse complexe
- preuve de kahane inspiree des idees precedentes
- travaux d'analyse harmonique concernant les theoremes tauberiens
- hadamard
LE
´ ` THEOREME
DES
NOMBRES
ELIMANE
BA
ET
PREMIERS
MICHEL
VU
RAIBAUT
PAR
KAHANE
2 ELIMANE BA ET MICHEL RAIBAUT 1.tcudnoiIortn SoitPmbsedeleenl’eisrrpmerbsensmond´eeelorxr´.Pou:tinfi π(x) := #{p∈P|p≤x} π(xonederbmerpsreimteenncdonolerembspr´´ece)drantx. epres HadamardetdelaVall´ee-Poussinen1896onte´tabliinde´pendammentcet ´equivalent: π(x)∼∞lxxg x→+o Leurpreuvereposesurlesproprie´t´esdelafonctionζiemann,ddeReinfie´ pourRe(s)>1 par ∞ ζ(s) =P1s. n n=1 ParsonexpressionenproduitEul´erienquilalieauxnombrespremiers ζ(s) =p∈ΠP(1−p1s)−1 la fonctionζueuojesedmbnos.reusNonrˆolecentralent´hoeiraeanylituq tt´egalite´permetdeprouverqueζne s’annule pas sur le verrons que ce e demi-planRe(s)>tedraH’damadLe1.neitleedopnietssstrationlad´emon delaVall´eePoussinestquelafonctionζromonm´erphegnolorpeoc¸afedes sur un voisinage deRe(s)≥’annulantesemˆplueelosent1aetdmnttaom1c pas sur la droiteRe(s) = 1. HistoriquementRiemannestlepre´curseurdecettevisionanalytique:dans sonfameuxarticlede1859(cf[2])ilmetene´videnceunlienentrela distributiondesnombrespremiersetlesze´rosdelafonctionζ. Nous prouveronsenfaitqueletheore`medesnombrespremierseste´quivalenta`la ´ non annulation deζsurRe(s) = 1. N´eanmoinsilexistedespreuvesn’utilisantpasd’analysecomplexe,comme celled’Erd¨osetSelberg...cf[4]. Auparavant,lare´partitiondesnombrespremierse´taitd´ej`aunprobl`eme ouvert.Euleravaitnotammentintroduitde´s1737larestrictiondelafonction ζ1]a`,+∞npneduro”eit´eulte[enoserpxoissrlesnombresirnep”uo´rteduei premiers.L’e´quivalentdeπ(x)di-ecn´on´epacturssetrGausuf,edssnoejtuc, Legendre au cours du XVIIIeel.`ices En1852Tch´ebycheve´tablitpardesmoyens´ele´mentairesl’encadrement suivant : liminfx/πlo(gx()x)≤1≤lixm→s∞pu/xolπ(gx()x) x→∞ Ainsi si le rapportπ(x)xgol(x)aitimelunneleele,eptueˆrtqeeu.1’Lexistence delalimiteestdonclere´elprobl`eme.
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´ ` LE THEOREME DES NOMBRES PREMIERS VU PAR KAHANE Cem´emoireestlargementinspir´edel’articledeJean-BenoˆıtBost[0],etdes livrescit´esenbibliographie.Ilexistedenombreusesd´emonstrationsdu the´or`emedesnombrespremiers,maiscellequenousproposonsalliedeux domaines:l’analysecomplexe`atraversl’e´tudedeζet l’analyse harmonique pour la preuve. Lede´butsuitpasa`paslesch´emapropos´eparHadamardet delaValle´ePousi`asavoir:lanonannulationdeζsur Re(s)=1 et s n l’introductiondelaseriedeDirichletd´efiniesurRe(s)>1 par ´ 1 ζP(s) =Xps. p∈P Cettefonctionseprolongeenunefonctionme´romorpheauvoisinagedela droiteRe(ssnitiiatiragole´tiralugta´eC’1.enueiqhm)1=vacenuseni l’occasiond’inscrirecesr´esultatsdansune´etudedeΓetζ. Vers1930suiteadestravauxd’analyseharmoniqueconcernantlesthe´or`emes ` taub´eriensetleursg´ene´ralisation,Wienerobtintunenouvellepreuveutilisant l’analyse harmonique de la fonctiont→ζ(1 +it).Nouspr´esentonpalsvuere deKahaneinspir´eedeside´espr´ece´dentes(cfannexe).Nousnoussommes e´loign´esdelastructuredel’articledeJ-BBostafindelarendreplus naturelle.Elleutliselatransform´eedeFourieretlathe´oriedesdistributions.
