L'essentiel des developpements limites
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Français
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2011
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- voisinage
- puissances de x? x0 d'exposant inferieur
- sin
- formule de taylor-young
- sin ?
- definie au voisinage de x0 ?
1.
I
L’essentiel des
d´veloppements limit´s
9 f´vrier 2011
D´finition de d´veloppement limit´ – Condition suffisante d’existence.
Cequ’ilestbondeconnaıˆtresurles«petits o»
Dans notre contexte, les fonctions sont ´tudi´es au voisinage d’un pointx0(tr`s souventx0= 0, mais pas
k
toujours) en les comparant aux fonctions puissances (x−x0), k∈N.Il est bon d’avoir toujours en tˆte le
comportement de telles fonctions puissances au voisinage dex0(cf figure)
Il faut ´galement avoir ` l’esprit les propri´t´s suivantes concernant la manipulation des«petits o»
de fonctions puissances. A toute fin utile, rappelons quefd´finie au voisinage dex0est n´gligeable devant
k k
(x−x0on note) etf(x) =o(x−x0),sifs’´crit au voisinage dex0sous la forme :
x→x0
k
f(x) = (x−x0)ε(x),
o`ǫest d´finie au voisinage dex0et v´rifielimε(x) = 0.
x→x0
Ainsif(x) =olim(1) si et seulement sif(x) = 0.
x→x0x→x0
Propri´t´ 1Soitfd´finie au voisinage dex0∈R.On suppose
k
f(x) =o(x−x0),
x→x0
pour un certain entierk∈N.Alors
k ℓ
1. si0≤ℓ < k,alors(x−x0) =o(x−x0).
x→x0
k
2.∀λ∈R, λf(x) =o(x−x0).
x→x0
ℓ k+ℓ
3.∀ℓ∈N,(x−x0)f(x) =o(x−x0).
x→x0
ℓ k
Ainsi, devant une expression de la forme (x−x0)o(x−x0),on s’empressera de l’´crire sous la
x→x0
k+ℓ
formeo(x−x0).D’autres propri´t´s sont toutes aussi importantes. La suivante est d’emploi fr´quent
x→x0
dans les calculs :
Propri´t´ 2Soientfd´finie au voisinage dey0et v´rifiant
k∗
f(y) =o((y−y0) )aveck∈N
y→y0
gd´finie au voisinage dex0et v´rifiant
k
Alors(f◦g)(x) =o((g(x)−y0) )
x→x0
limg(x) =y0.
x→x0
1
