L'essentiel des developpements limites

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01 février 2011

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L'essentiel des developpements limites 9 fevrier 2011 I Definition de developpement limite – Condition suffisante d'existence. 1. Ce qu'il est bon de connaıtre sur les « petits o » Dans notre contexte, les fonctions sont etudiees au voisinage d'un point x0 (tres souvent x0 = 0, mais pas toujours) en les comparant aux fonctions puissances (x ? x0)k, k ? N. Il est bon d'avoir toujours en tete le comportement de telles fonctions puissances au voisinage de x0 (cf figure) Il faut egalement avoir a l'esprit les proprietes suivantes concernant la manipulation des « petits o » de fonctions puissances. A toute fin utile, rappelons que f definie au voisinage de x0 est negligeable devant (x? x0)k et on note f(x) = o x?x0 ( (x? x0) k ) , si f s'ecrit au voisinage de x0 sous la forme : f(x) = (x? x0) k ?(x), ou est definie au voisinage de x0 et verifie lim x?x0 ?(x) = 0. Ainsi f(x) = o x?x0 (1) si et seulement si lim x?x0 f(x) = 0. Propriete 1 Soit f definie au voisinage de x0 ? R. On suppose f(x) = o x?x0 ( (x? x0) k ) , pour un certain entier k ? N.

voisinage

puissances de x? x0 d'exposant inferieur

formule de taylor-young

sin ?

definie au voisinage de x0 ?

Voir

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Français

Voisinage Théorème de Taylor

L’essentiel des

d´veloppements limit´s

9 f´vrier 2011

D´finition de d´veloppement limit´ – Condition suffisante d’existence.

Cequ’ilestbondeconnaıˆtresurles«petits o»

Dans notre contexte, les fonctions sont ´tudi´es au voisinage d’un pointx0(tr`s souventx0= 0, mais pas
k
toujours) en les comparant aux fonctions puissances (x−x0), k∈N.Il est bon d’avoir toujours en tˆte le
comportement de telles fonctions puissances au voisinage dex0(cf ﬁgure)
Il faut ´galement avoir ` l’esprit les propri´t´s suivantes concernant la manipulation des«petits o»
de fonctions puissances. A toute ﬁn utile, rappelons quefd´ﬁnie au voisinage dex0est n´gligeable devant

k k
(x−x0on note) etf(x) =o(x−x0),sifs’´crit au voisinage dex0sous la forme :
x→x0
k
f(x) = (x−x0)ε(x),
o`ǫest d´ﬁnie au voisinage dex0et v´riﬁelimε(x) = 0.
x→x0
Ainsif(x) =olim(1) si et seulement sif(x) = 0.
x→x0x→x0

Propri´t´ 1Soitfd´ﬁnie au voisinage dex0∈R.On suppose

k
f(x) =o(x−x0),
x→x0

pour un certain entierk∈N.Alors

k ℓ
1. si0≤ℓ < k,alors(x−x0) =o(x−x0).
x→x0

k
2.∀λ∈R, λf(x) =o(x−x0).
x→x0

ℓ k+ℓ
3.∀ℓ∈N,(x−x0)f(x) =o(x−x0).
x→x0

ℓ k
Ainsi, devant une expression de la forme (x−x0)o(x−x0),on s’empressera de l’´crire sous la
x→x0

k+ℓ
formeo(x−x0).D’autres propri´t´s sont toutes aussi importantes. La suivante est d’emploi fr´quent
x→x0
dans les calculs :

Propri´t´ 2Soientfd´ﬁnie au voisinage dey0et v´riﬁant

k∗
f(y) =o((y−y0) )aveck∈N
y→y0

gd´ﬁnie au voisinage dex0et v´riﬁant

k
Alors(f◦g)(x) =o((g(x)−y0) )
x→x0

limg(x) =y0.
x→x0

Voir