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Gérald Tenenbaum

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L'Ens. Math. (2) 53 (2007), 153–178. Remarques sur les valeurs moyennes de fonctions multiplicatives?† Gerald Tenenbaum Abstract. By a self-contained approach, we show that a real valued multiplicative function whose square has a mean-value must itself have a mean value, and we provide a su?cient condition for the vanishing of the latter. This partially extends a theorem of Elliott. 1. Introduction La valeur moyenne d'une fonction arithmetique reelle f : N? ? R est deﬁnie, lorsqu'elle existe, comme la limite M(f) := lim x?∞ 1 x ∑ nx f(n). Pour I ? R, ? > 0, k ? N?, designons par M(I) la classe des fonctions arithmetiques multiplicatives a valeurs dans I, par L?(I) la sous-classe de M(I) constituee des fonctions f telles que ?f?? := lim sup x?∞ ( 1 x ∑ nx |f(n)|? )1/? < ∞, et notons Rk(I) la sous-classe de M(I) comprenant les fonctions f telles que fk possede une valeur moyenne. Un cas particulier, representatif du cas general, d'un tres elegant resultat d'Elliott [5] peut etre enonce comme suit.

motivation initiale d'elliott

application convenable de l'inegalite de holder

serie

theoreme

estimation e?ective

technique legere de hildebrand

recent travail de mauclaire

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Tannenbaum Théorème

L’Ens. Math. (2)53(2007), 153–178.

Remarques sur les valeurs moyennes de fonctions multiplicatives∗†

Ge´raldTenenbaum

Abstract.self-contained approach, we show that a real valuedBy a multiplicative function whose square has a mean-value must itself have a mean value, and we provide a suﬃcient condition for the vanishing of the latter. This partially extends a theorem of Elliott.

1. Introduction Lavaleurmoyenned’unefonctionarithm´etiquere´ellef:N∗→Rtseeﬁd´e,ni lorsqu’elle existe, comme la limite M(f) :=xli→m∞x1f(n). nx

PourI⊂R,α >0,k∈N∗,dpsrangnoe´isM(I) la classe des fonctions arithm´etiques multiplicatives `a valeurs dansI, parLα(I) la sous-classe deM(I) constitu´ee des fonctionsftelles que fα:= lixm→s∞upx1nx|f(n)|α1/α<∞, et notonsRk(I) la sous-classe deM(I) comprenant les fonctionsftelles quefk poss`edeunevaleurmoyenne. Uncasparticulier,repr´esentatifducasg´ene´ral,d’untre`s´el´egantr´esultat d’Elliott[5]peutˆetree´nonce´commesuit.Icietdanstoutelasuite,lalettrep d´esigneunnombrepremier. Th´eor`emeA(Elliott).On aR2(R+)⊂R1(R+). De plus, sif∈R2(R+)et si la s´erie )−12 (1·1)pf(pp

diverge, alorsM(f) = 0.

∗ †

2000 AMS Subject Classiﬁcation : 11N37. Nousincluonsicicertainescorrectionsparrapport`alaversionpublie´e.

Ge´raldTenenbaum

Lethe´or`emeprincipald’unr´ecenttravaildeMauclaire[13]´ourtoute enonce que, p fonctionfdeM(R+), si (a) toutes les fonctionsn→f(dn) (d1) appartiennent a`R2(R+), si l’on a

(b)pν2f(ppνν)2<∞, et si (c) la s´erie (1·1) diverge, alors il existe un sous-ensembleEdeN∗d1et´siened tel que la fonction1Ef2dte´oclueainfcet,esr´taulomrunneyluneE.elsovaleitde imme´diatementduTh´eor`emeA,mˆemeen´elargissantl’hypoth`ese(a)auseulcas d= 1 et en supprimant la condition (b). En eﬀet, sif0 etM(f) = 0, l’ensemble des entiersntels quef(n)> εest de densit´e nulle pour toutε >0. Elliottdonnedans[6](th.19.1)unenouvelled´emonstrationduTh´eore`meA. Les approches de [5] et [6] pr´esentent des diﬀ´erences signiﬁcatives mais s’appuient essentiellement toutes deux sur la caract´erisation donn´ee par Elliott dans [3] des fonctions deL2(Rp)´ssolevamouranednetue´irueereynnsepu(1)non nulle — un crite`redontlaconditionn´ecessairea´ete´retrouv´eeparuneautrem´ethodedansun travailsubse´quentdeDaboussietDelange[2].Unautre´ele´mentessentieldesdeux preuvesre´sidedansl’obtentiond’unepropri´ete´dere´gularite´localepourlafonction sommatoire def, soit (1·2)M(x;f) :=f(n) (x0). 1nx

Dans[5],ler´esultatestissud’unlemmede[4]reposantsurunth´eore`medethe´orie probabilistedesnombresdˆua`Levin,TimofeevetTuljaganov[12].Dans[6],Elliott arecours,viaunprincipededualit´e,a`lare´solutiond’une´equationfonctionnelle approch´ee — voir notamment les chapitres 6 et 10 de [6]. Enﬁn, dans tous les cas, laformedualedel’in´egalit´edeTura´n–Kubiliusjoueunrˆoleessentiel. Nousnousproposonsicidedonneruneversionplsg´´eraleduThe´ore`meA, u en dans laquelle l’hypoth`ese de positivit´e pourfestno´e´encurpoitraˆler´hcaN.eeerto probablementeˆtreretrouv´ecommeconse´quencedesre´sultatsexpose´sdans[6].Nous noussommesprincipalementattach´eici`apr´esenterunede´monstrationsimpleet autonomeou`l’existenced’unevaleurmoyennepourf2sepxettioldee´ecirmetent dans le calcul de la valeur moyenne def— ce qui a constitu´e notre motif initial decuriosite´. Commedanstouteslesapproches,lepointleplusdiﬃcileconsiste`ae´tablirla ` n´ecessite´delaconvergencedelas´erie(b).Acetteﬁn,nousmettonsen´evidence, paruneme´thodedirecteadapt´eede[9],unenouvellepropri´ete´der´egularite´locale pour les fonctionsx→M(x;f) lorsquef∈R2(R+luvaioatstneinmo:)e´’leisecr´sp que celles de [4] ou [6], mais valable dans un domaine plus vaste. Ce r´esultat, d’inte´rˆetpropre,faitl’objetduLemme2.1infra.