J Anal Math

J. Anal. Math.92(2004), 1–79.

S´riestrigonom´triques`
coefficientsarithm´tiques

R. de la Bret`che & G. Tenenbaum

Sommaire
1Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2Estimations fondamentales :∇(ϑ;y) etB(ϑ;y). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3Crit`res deϑ-adaptation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4Crit`res de validit´ pour la relation (Dϑ). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5Sur l’absence de ph´nom`ne de Gibbs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6Sommes d’exponentielles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.1 Pr´liminaires. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2 Estimations deE(x, y;ϑ) etZ(x, y;ϑ). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3 Estimations deEτz(x, y;ϑ) etZτz(x, y;ϑ). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7P-convergence deV(µ;ϑ) : preuve du Th´or`me 2.1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.1 Estimation deWµ(x, y;ϑ). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2 Estimation deWµ(x, y;a/q). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.3 Preuve du Th´or`me 2.1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8P-convergence deU(1;ϑ) : preuve du Th´or`me 2.2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9D´monstration des crit`res deϑ-adaptation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.1 Discr´pance de la suite{ϑn}. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
n∈S(x,y)
α∗
9.2 Crit`re deϑ-adaptation lorsquef∈ L(N) : preuve du Th´or`me 3.1
9.3 Preuve du Th´or`me 3.2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.4 Crit`re deϑ-adaptation lorsqueϑ∈Q: preuve du Th´or`me 3.4. . . .
α∗
9.5 Crit`re deϑ-adaptation lorsqueg∈ L(N) : preuve du Th´or`me 3.5
10Preuve des Th´or`mes 4.2 et 4.3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.1 Preuve du Th´or`me 4.2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.2 (Dϑ) pour (f, g) = (log,Λ) : preuve du Th´or`me 4.3. . . . . . . . . . . . . .
11Le cas (f, g) = (τ,1) : preuve du Th´or`me 4.4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.1 R´duction pr´liminaire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.2 Convergence deU(τ;ϑ). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.3 Convergence deV(1;ϑ). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12(Dϑ) pour (f, g) = (Λ,−µlog) : preuve du Th´or`me 4.5. . . . . . . . . . . . . . .
13Cas des fonctions multiplicatives. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.1 Preuve du Th´or`me 4.6 : (f, g)∈FA×FAetϑ∈R Q. . . . . . . . . .
∗
13.2 Preuve du Th´or`me 4.7 :g∈Fetϑ∈Q. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A
13.3 Preuve du Th´or`me 4.8 : (f, g) = (τz+1, τz). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2
8
10
12
18
21
21
23
27
34
34
44
45
46
49
49

52
54
56
56
60
60
61
64
64
64
66
68
69
69
71
73

2

R. de la Bret`che et G. Tenenbaum

1. Introduction
1
SoitT:=R/Z. Consid´rons une fonction 1-p´riodiqueF∈L(T), d’int´grale
nulle et partout somme de sa s´rie de Fourier, soit

∞


F(ϑ) =aF(n) cos(2πnϑ) +bF(n) sin(2πnϑ)
n=1

On a alors formellement, pour toute fonction arithm´tiqueh,

(1∙1)

(ϑ∈R).

∞ ∞


h(n)F(nϑ() =aF∗h)(n) cos(2πnϑ) + (bF∗h)(n) sin(2πnϑ),
n=1n=1

o` les convolutions sont prises au sens de Dirichlet. Le probl`me de d´cider dans
quels cas cette ´galit´ formelle prend un sens analytique a ´t´ abord´ par Davenport
dans [7] et [8]. Il consid`re essentiellement le cas o`F=B, la somme de la s´rie
1
de Fourier de la premi`re fonction de Bernoulli,B1(ϑ) :=ϑ −, o`ϑd´signe
2
la partie fractionnaire du nombre r´elϑ— on a donc

1
ϑ −siϑ∈/Z,
2
B(ϑ) =
0 siϑ∈Z.

Ce choix s’explique d’une part par l’int´rˆt arithm´tique de la fonctionB1,
imm´diatement li´e ` la fonction partie enti`re, et d’autre part par le fait bien
connu que la convergence de la s´rie des coefficients est meilleure dans le cas des
(1)
s´ries de sinus que dans celui des s´ries de cosinus,ce qui augmente a priori la
probabilit´ de convergence de (1∙1). On a

(1∙2)

∞

sin(2πmϑ)
B(ϑ) =−.
πm
m=1

Normalisons la fonctionhde (1∙1) en posanth(n) =g(n)/npourn1. Nous
pouvons alors r´´crire (1∙1) sous la forme

(Dϑ)

∞ ∞

f(m)g(n)
sin(2πmϑ) +B(nϑ) = 0,
πm n
m=1n=1

o` les fonctions arithm´tiquesfetgsont li´es par la relation de convolution

(1∙3)f=g∗1,i.e. f(n) =g(d) (n1).
d|n

1. Siansin(2πnϑ) est une s´rie de Fourier ` coefficients de signe constant, on a
n1

n´cessairement|an|/n <∞: voir par exemple [18],CorollaryI.4.2.
n1

S´ries trigonom´triques ` coefficients arithm´tiques

Dans tout cet article, nous ´crivons

(f, g)∈Dϑ

3

pour signifier que la relation (Dϑ) est satisfaite pour le couple de fonctions
arithm´tiques (f, g) v´rifiant (1∙3). En outre, par commodit´ de r´f´rence, nous
d´signons respectivement parU(f;ϑ) etV(g;ϑ) les s´ries enfetgde (Dϑ), soit
formellement

f(m)g(n)
U(f;ϑ) :=sin(2πmϑ), V(g;ϑ) :=B(nϑ).
πm n
m1n1

Nous remarquons d’embl´e que, si (f, g)∈Dϑpour toutϑet si la convergence
des deux membres est uniform´ment born´e enϑ, alors (f∗h, g∗h)∈Dϑpour
toutϑd`s que

(1∙4)

|h(n)|
<∞.
n
n1

Cela d´coule imm´diatement du th´or`me de Lebesgue, et nous omettons les d´tails,
qui sont standard.
Une autre application imm´diate du th´or`me de Lebesgue dans ce contexte
consiste ` remarquer que, si


F(ϑ) =aF(n) cos(2πnϑ) +bF(n) sin(2πnϑ)
n1

est une fonction ` variation born´e surTqui est en tout point somme de sa s´rie
(2)
de Fourier,et si (f, g) est un couple de fonctions arithm´tiques satisfaisant (Dϑ)
pour toutϑ∈Ravec une convergence uniform´ment born´e des s´riesU(f;ϑ) et
V(g;ϑ), alors on a


(1∙5)f(m)aF(m) cos(2πmϑ) +bF(m) sin(2πmϑ) +g(n)Fn(ϑ) = 0
m1n1

o`



1j
Fn(ϑ) :=F ϑ+ =aF(k) cos(2πkϑ) +bF(k) sin(2πkϑ)
n n
1jn k1
k≡0 (modn)

2. D’apr`sun th´or`me de Jordan, il suffit pour cela qu’elle soit normalis´e par
1 1
F(ϑ) =F(ϑ+) +F(ϑ−).
2 2

de sorte que Δ(ϑ;y) = Δδ(ϑ;yeepxecttoi,nerssla¸crempdansant,nE.)2n(siπmϑ)/π
par

µ(d)
Δ(mϑ;y/m)−B(dmϑ)
d
dy/m

imm´diatement

et nous omettons les d´tails.
Le d´veloppement de Fourier classique (1∙2) coıncide avec (Dϑ) lorsque

il obtient la forme quantitative

(3)
o`δDans [7], [8], Davenport donne und´signe l’´l´ment neutre de la convolution.
certain nombre de cas de validit´ de (Dϑ) et prouve en particulier que (δ, µ)∈Dϑ
pour tout nombre r´elϑ. Plus pr´cis´ment, en ´tablissant entre autres, pour chaque
A >0 fix´, la majoration

Riemann

1
Fn(ϑ) =B(nϑ−nv) dF(v)
n
T

F.

(f, g) = (1,δ),

`

associ´e

sin(2πϑ)µ(n) 1
Δ(ϑ;y+) :=B(nϑ)≪
A
π n(logy)
ny

(n1),

r´sulte

Cela

R. de la Bret`che et G. Tenenbaum

de

la

est la somme
repr´sentation

4

de

y
2&