Intro Szego cubic Lax pair Solitons M M˜

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Intro Szego cubic Lax pair Solitons M(1) M˜(1) Sur l'equation de Szego cubique Sandrine Grellier Universite d'Orleans en collaboration avec P. Gerard (Universite Paris sud) Sandrine Grellier Sur l'equation de Szego cubique

burq-gerard-tzvetkov

equation de szego cubique

influence de la geometrie sur les proprietes qualitatives des solutions de nls

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Grellier Werner Heisenberg

Intro

Szeg¨ocubic

Lax pair

Solitons

M(1)

˜ M(1)

Surl’´equationdeSzego¨cubique

Sandrine Grellier

Universite´ d’Orleans ´

en collaboration avec´.GPreradnUvireis(sud)t´eParis

Sandrine Grellier

Sur l’e´ quation de Szego¨ cubique

Intro pair LaxSzego¨ cubic Motivation

˜ SolitonsM(1)M(1)

Inﬂuencedelag´eome´triesurlesproprie´te´squalitativesdes solutions de NLS

i∂tu+ Δu=|u|2u,(t,x)∈R×M.

Re´ sultat ge´ ne´ ral (inde´ pendant de la ge´ ome´ trie) : Sileﬂotestr´eguliersurHr(M), alors

keitΔfkL4([0,1]×M).kfkHr/2(M).

Burq-Ge´ rard-Tzvetkov :

”Quasi-´equivalence”

Sandrine Grellier

Sur l’e´ quation de Szego¨ cubique

IntroSzego¨ cubic pair Lax Motivation

˜ SolitonsM(1)M(1)

Inﬂuencedelag´eome´triesurlespropri´et´esqualitativesdes solutions de NLS

i∂tu+ Δu=|u|2u,(t,x)∈R×M.

R´esultatge´ne´ral(inde´pendantdelag´eom´etrie): Sileﬂotestr´eguliersurHr(M), alors

keitΔfkL4([0,1]×M).kfkHr/2(M).

Burq-Gerard-Tzvetkov : ´

” Quasi-e´ quivalence”

Sandrine Grellier

Sur l’e´ quation de Szego¨ cubique

Intro pair LaxSzego¨ cubic Motivation

˜ SolitonsM(1)M(1)

Inﬂuencedelag´eom´etriesurlespropri´et´esqualitativesdes solutions de NLS

i∂tu+ Δu=|u|2u,(t,x)∈R×M.

Re´sultatge´ne´ral(ind´ependantdelageometrie): ´ ´ Sileﬂotestr´eguliersurHr(M), alors

keitΔfkL4([0,1]×M).kfkHr/2(M).

Burq-Ge´ rard-Tzvetkov :

”Quasi-´equivalence”

Sandrine Grellier

Surl’´equationdeSzeg¨ocubique

˜ IntroonsairSolitbuciaLpxSez¨gcoM(1)M(1) Cas du groupe de Heisenberg

Surle groupe de HeisenbergH1=Cz×Rs,Δle sous-laplacien.Pour les fonctions ”radiales” (R) ne de´ pendant que de(|z|,s),

L2(H1)∩ R=⊕±

⊕m∞=0Vm±,Δ|Vm±=±i(2m+1)∂∂s.

Sif∈V±,eitΔf(z,s) =f(z,s(2m+1)t), donc m

keitΔfkL4([0,1]×H1)=kfkL4(H1) Injection de Sobolev sur le groupe de Heisenberg,

keitΔfkL4([0,1]×H1).kfkHr/2(H1)⇒r≥2

(espacedeSobolevadapt´e`aH1) Pasdeﬂotr´eguliersurl’espad’´rgie! ce ene

Sandrine Grellier

Surl’e´quationdeSzeg¨ocubique

˜ IntroLaxpairSolitonsSez¨gcobuciM(1)M(1) Cas du groupe de Heisenberg

Surle groupe de HeisenbergH1=Cz×Rs,Δle sous-laplacien.Pour les fonctions ”radiales” (R) ne de´ pendant que de(|z|,s),

L2(H1)∩ R=⊕±

⊕m∞=0Vm±,Δ|Vm±=±i(2m+1)∂∂s.

Sif∈Vm±,eitΔf(z,s) =f(z,s(2m+1)t), donc

keitΔfkL4([0,1]×H1)=kfkL4(H1) Injection de Sobolev sur le groupe de Heisenberg,

keitΔfkL4([0,1]×H1).kfkHr/2(H1)⇒r≥2

(espacedeSobolevadapte´`aH1) Pas de ﬂot re´ gulier sur l’espace d’e´ nergie !

Sandrine Grellier

Surl’e´quationdeSzeg¨ocubique

˜ IntrobicLaxpaSzeg¨ocusnrioSilotM(1)M(1) Cas du groupe de Heisenberg

Surle groupe de HeisenbergH1=Cz×Rs,Δle sous-laplacien.Pour les fonctions ”radiales” (R) ne de´ pendant que de(|z|,s),

L2(H1)∩ R=⊕±

⊕m∞=0Vm±,Δ|Vm±=±i(2m+1)∂∂s.

Sif∈Vm±,eitΔf(z,s) =f(z,s(2m+1)t), donc

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(espacedeSobolevadapt´ea`H1) Pas de ﬂot re´ gulier sur l’espace d’e´ nergie !

Sandrine Grellier

Sur l’e´ quation de Szego cubique ¨

˜ IntroSzeg¨ocubicLaxparioSilotsnM(1)M(1) Cas du groupe de Heisenberg

Surle groupe de HeisenbergH1=Cz×Rs,Δle sous-laplacien.Pour les fonctions ”radiales” (R) ne de´ pendant que de(|z|,s),

L2(H1)∩ R=⊕±

⊕m∞=0Vm±,Δ|Vm±=±i(2m+1)∂∂s.

Sif∈Vm±,eitΔf(z,s) =f(z,s(2m+1)t), donc

keitΔfkL4([0,1]×H1)=kfkL4(H1) Injection de Sobolev sur le groupe de Heisenberg,

keitΔfkL4([0,1]×H1).kfkHr/2(H1)⇒r≥2

(espacedeSobolevadapt´ea`H1) Pas de ﬂot re´ gulier sur l’espace d’e´ nergie !

Sandrine Grellier

Sur l’e´ quation de Szego cubique ¨

˜ IntrosnrioSilotbicLaxpaSzeg¨ocuM(1)M(1) Cas du groupe de Heisenberg

Surle groupe de HeisenbergH1=Cz×Rs,Δle sous-laplacien.Pour les fonctions ”radiales” (R) ne de´ pendant que de(|z|,s),

L2(H1)∩ R=⊕±

⊕m∞=0Vm±,Δ|Vm±=±i(2m+1)∂∂s.

Sif∈Vm±,eitΔf(z,s) =f(z,s(2m+1)t), donc

keitΔfkL4([0,1]×H1)=kfkL4(H1) Injection de Sobolev sur le groupe de Heisenberg,

keitΔfkL4([0,1]×H1).kfkHr/2(H1)⇒r≥2

(espacedeSobolevadapt´ea`H1) Pas de ﬂot re´ gulier sur l’espace d’e´ nergie !

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Sur l’e´ quation de Szego cubique ¨

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