I Definition d'une conique en terme d'equation cartesienne

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01 janvier 2010

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Coniques. Resume 4 janvier 2010 I Definition d'une conique en terme d'equation cartesienne On se place dans le repere orthonorme direct (0, ?? i , ?? j ). Definition 1 Une conique du plan euclidien R2 est une courbe du plan d'equation cartesienne de la forme a x2 + 2 b x y + c y2 + d x + e y + f = 0, ou a, b, c, d, e et f sont des nombres reels avec (a, b, c) 6= (0, 0, 0). L'hypothese (a, b, c) 6= (0, 0, 0) est indispensable ici : le cas ou a, b et c sont nuls conduit a l'equation d'une droite. Definition 2 (Discriminant) Soit C une conique du plan euclidien d'equation cartesienne a x2 + 2 b x y + c y2 + d x + e y + f = 0. Le discrimant ∆ de C est par definition le nombre reel ∆ = a c? b2. Definition 3 (Type d'une conique) Soit C une conique du plan euclidien d'equation cartesienne a x2 + 2 b x y + c y2 + d x + e y + f = 0. On dit de C qu'elle est : 1.

repere orthonorme

valeurs de ?

hyperbole

parabole

axe de symetrie

directions des axes eventuels de symetrie

quant au centre

axe focal

ellipse

equation

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Coniques.R´esume´

4 janvier 2010

ID´efinitiond’uneconiqueentermed’´equationcart´esienne ect ( − i → , −→ j ) . Onseplacedanslerep`ereorthonorme´dir0 , Deﬁnition 1 Une conique du plan euclidien R 2 estunecourbedupland’´equationcarte´siennedelaforme ´ a x 2 + 2 b x y + c y 2 + d x + e y + f = 0 , ou` a, b, c, d, e et f sontdesnombresre´elsavec ( a, b, c ) 6 = (0 , 0 , 0) . L’hypothe`se( a, b, c ) 6 = (0 , 0 , 0)estindispensableici:lecaso`u a, b et c sontnulsconduita`l’ e´quationd’une droite . De´ﬁnition2(Discriminant) Soit C uneconiqueduplaneuclidiend’e´quationcart´esienne a x 2 + 2 b x y + c y 2 + d x + e y + f = 0 . Le discrimant Δ de C estparde´ﬁnitionlenombrer´eel Δ = a c − b 2 . D´eﬁnition3(Typed’uneconique) Soit C uneconiqueduplaneuclidiend’´equationcarte´sienne a x 2 + 2 b x y + c y 2 + d x + e y + f = 0 . On dit de C qu’elle est : 1. de type elliptique si a c − b 2 > 0 ; 2. de type parabolique si a c − b 2 = 0 ; 3. de type hyperbolique si a c − b 2 < 0 .

II R´ ction d’u ` ´ ´ edu ne conique : a la recherche de son equation reduite

1. Changement de R.O.N. direct Proprie´t´e1 Soit C uneconiqued’e´quation a x 2 + b x y + c y 2 + d x + e y + f = 0 − danslerepe`reorthonorme´direct R = ( O, −→ i , → j ) . Danslerepe`re R 0 = ( O, i −→ 0 , j −→ 0 ) , la conique C a alors pour equation ´ a 0 x 0 2 + 2 b 0 x 0 y 0 + c 0 y 0 2 + d 0 x 0 + e 0 y 0 + f 0 = 0 , ` ou − c a 0 = a +2 c + a cos(2 θ ) + b sin(2 θ ) 2 b 0 = b cos(2 θ ) − ( a − c )sin(22 θ ); a + c a − c c 0 = − 2 cos(2 θ ) − b sin(2 θ ) 2 1

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