Geometrie algebrique et Theorie des modeles

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fi ? ?

ferme

meme polynome

polynome en variables x¯

y¯ dans les equations

reunion finie

fermes prin- cipaux

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Wagner

G´eometrie

alg´ebrique

Frank

The´orie

Wagner

des

d`les e

Chapitre 1

Les constructibles

1.1 Fermes et ouverts ´ D´eﬁnition1.1.1SoitKteol,scnusproemqutceng´alriebs < ω. Une partie FdeKsest unlapicnirpe´mfersi elle consiste dess-uples dansKsqui annulentunpolynoˆmef(x1, . . . , xs). DoncFocsnsietedzse´esdrof(¯x il) ; estde´ﬁniparl’e´quationpolynomialef(¯xnu,tlareneme0=P.)e´´nulgsmref´e estuneintersectionﬁniedeferme´sprincipaux;ilestde´ﬁniparunsyst`eme (uneconjonction)d’e´quationspolynomiales. Unouvert principal´ermfeunpaciinprdtseli;lcnoesmolpltcetn’de´em de´ﬁniparunein´equationf(x¯)6= 0. Unouvertelestmpcoeml´dtnefnu’´mre,e ilestlare´uniondesouvertprincipauxetestdonne´parunedisjonction d’equations. ´ Cetted´eﬁnitiond´ependdel’espaceambiant:lemˆemepolynoˆmef(x¯) peut ˆetreconside´re´commepolynˆomeenvariablesx¯ qui ﬁgurent dedans, ou bien en variables ¯xy¯ pour touty si ¯¯ ;xest de longueursety¯ est de longueurt, alorsf(¯xunitﬁn´e0d)=e´efmrFdansKs,term´elefeF×KtdansKs+t. Nous remarquons que l’intersection d’un nombre ﬁni d’ouverts principaux donn´espardesin´equationsfi(¯x)6= 0 (pouri < n) est encore principal, et determineparl’in´equationQi<nfi(x¯)6onbmerorAl0.=nu’dnoinue´ral,s ´ ﬁnideferm´esprincipauxestaussiunferme´principal;pardistributivite´des operationbool´eennesonvoitfacilementquelar´euniond’unnombreﬁnide ´ ferme´sestferme´,etl’intersectiond’unnombreﬁnid’ouvertsestouvert.Nous verronsplustardquel’intersectiond’unefamillequelconquedesferme´sest encoreferm´ee,etestenfaitl’intersectiond’unesous-familleﬁnie(cequi

qualiﬁe commenoiaerh´etein´t), et que ce vocabulaire topologique est bien justiﬁe´.Ils’agitdelatopologie de Zariski. Pours=1,unferm´eestsoitKentier, soit un ensemble ﬁni, dont le car-dinalestborneparlepluspetitdesdegre´sdespolynoˆmesdanssad´eﬁnition. Pardualite´,unouvertestsoitvide,soitco-ﬁni(decompl´ementﬁni)dans Krent`e,d.Pcoarqseus≥nseedaorm´urefurtcalts,2Ksse´mrefselrap (ou les ouverts) est beaucoup plus riche ; il n’y a pas seulement les produits desferme´sdeKsdlesiuslenagoiainﬁe´d(srapsem,iaasxi=xj), les droites, les cercles, les plans, sous-espaces, hyperplans. . .. On note que dans plusieurs dimensionslespointssonttoujoursferme´s,maisnesontplusdesferm´esprin-cipaux;eng´en´erallesferm´esprincipauxsontdesensemblesdecodimension 1 (donc, des courbes dansK2, des surfaces dansK3, etc.). Lemme 1.1.2L.1´ni’auqeitnof(x¯)6= 0issedion-vertnnouvnitu´dﬁef n’estpaslepolynˆomenul. 2. L’intersection de deux ouverts non-vides deKn ;n’est pas videKnn’est paslar´euniondedeuxferme´spropres. De´monstration:Pouerimlrpaaptre`eronieisraneonrrpauce´nerrusecr le nombresde variables. C’est vrai sis= 0 etfest constant non-nulle. Soit doncf(x¯, y) =Pni=0fi(¯x)yio`ufn(x¯) n’est pas identiquement nul ; par hypothe`sed’inductionontrouvea¯ tel quefn(¯a)6= 0, etf(¯a, y) n’a pas plus queneorvuo,tnnﬁniesticlosmentrbe´euqiprocglasmeomuttoerz´.Cosbtel quef(¯a, b)6= 0. Ladeuxie`mepartiesuit:sif(¯x) etg(x¯) ne sont pas identiquement nuls, leur produit (f g)(¯xlar´onc,ondeeuniapnse’tssuD.nolpel)nmrefxuedse´ principaux propres n’est pasKsertir,.Oenrpe´erpotuotmrefnuestconte dansunferme´principalpropre. De´ﬁnition1.1.3Unconstructiblerefese´m.mbinnecoestunnde´leebnooiaos Donc,unconstructibleestobtenua`partirdesferm´esenprenantre´unions ﬁnies,intersectionsﬁnies,etcomple´ments.Evidemment,unconstructibleest aussiunecombinaisonbool´eenned’ouverts. Lemme 1.1.4selb’eidemnsmbnoﬁnreinno’dnueets´ruetructiblToutcons de la formeF∩Oo,u`Fetse´teefmrOepno;lapemeˆmtuouveestincirtpr l’e´crirecommeuner´euniondetelsensemblesdeux-`a-deuxdisjoints.

De´monstration:ol´eennesetleloisiidtsbituviseobutEnisiltlanloeseded Morgan, on peut exprimer tout constructible enforme normal disjonctive, c’est-a`-direcommere´uniond’intersectionsdeferme´setd’ouverts.Maisune intersection(ﬁnie!)deferm´esestencoreferm´ee,etuneintersectiond’ouverts est ouverte ; tout constructibleAs’exprime sous la formeA=Si<nFi∩Ωi, ou lesFiseltΩsontferm´eseiouverts. Chaque Ωinionr´euauneesegt´e`al ` ﬁnieSj<nOijd’ouverts principauxOji, etA=Si<nSj<niFi∩Oji. i Pour exprimerA=Si<nFi∩Oiocmmreinesrsteun´endio-xueitcedsno a`-deuxdisjointes,onl’´ecritd’abordcomme A=[Fi∩Oi∩\(¬Oj∪ ¬Fj). i<n j<i SiTj<i(¬Oj∪ ¬Fj) =Sj<nΦji∩Ωjiavec Φijfre´meeΩtijouvert principal, i on obtient Fi∩Oi∩\(¬Oj∪ ¬Fj) =Fi∩Oi∩[Φji∩Ωji j<i j<ni =[Fi∩Φji∩O∩Ωj ii j<ni =[(Fi∩Φij∩\¬Ωik)∩(Oi∩Ωji), j<nik<j ce qui donne la forme requise. Autrementdit,chaqueconstructibles’exprimecommere´uniond’unnombre ﬁnid’ensemblesde´ﬁnischacunparunsyst`emedelaforme f1(x¯) = 0∧f2(x¯) = 0∧ ∙ ∙ ∙ ∧fn(¯x) = 0∧g(¯x)6= 0; biensuˆr,iln’yariendecanoniquedecetted´ecomposition! Pour chaquesiertpaesrustonscdselbitcevanoonsunﬁlidse´Ks. Il nous fautmaintenant´etablirdesliensentrelesconstructiblesdecesdiﬀ´erentses-paces. On voit facilement que siF(¯x, yipalrinc´e(pfermtsnu¯e)e)dKs+t, alors pour chaque ¯a∈Ktniicap)ltientunferm´e(prbonoK(x¯,¯a) en substituant a¯ pouryonvuuourrpnire(tns.Datiome,pemˆenad¯uqe´sels)licapO(x¯, y¯) de Ks+ton obtient un ouvert (principal)O(¯x, a¯) deKs; en substituant dans un constructibleC(¯x, y¯) on obtient un constructibleC(¯x,¯a).

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