$From Fractional Brownian Motion to Multifractional$

From Fractional Brownian Motion to Multifractional

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Antoine Ayache

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From Fractional Brownian Motion to Multifractional Brownian Motion Antoine Ayache USTL (Lille) Cassino December 2010 A.Ayache (USTL) From FBM to MBM Cassino December 2010 1 / 34

fbm can

statistics since

fractional brownian

hurst parameter

brownian motion

wavelet series

self- similar process

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FBMFerr1omacheFDecemractionalCassinoBroA.AwnianFMotionMBMtoerMultifractional34BroDecembwnian2010MotionyAntoine(USTL)AromytoacheCassinoUSTLb(Lille)2010Antoine.Aya/che@math.univ-lille1.freriesMainbpa(USTL)rts4ofBthetosemina/ravelet1resentationIntroyductiromoCassinon2010andMBMmotivationW2sMBM:repdenitionofandA.ApacheropFerFBMtiesMBM3DecemTheereld2B34generatingf ( )g2R
2 ( ; )
2R 2R

E ( ) ( ) = jj +jj j j ;
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! f ( )g= 2R
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f ( )g = f ( )g :2R 2R
8 ; ; 2R

E ( + ) ( ) ( + ) ( )

=E ( + ) ( ) ( ) ( )
= ( ):
Hsrycessincrementsthrothat:ph,Self-similarmeansself-similaaBBHsGaussian,BtscenteredHhBonlyt2010H/sf.d.d.meanstHBttheryBStationaHHHtsincrements.withBA.AtacherFHFBM0MBMthat:tBhhistItastationatyh(USTL)atromDecemtoerCassino0bBH4B34H> = 8 =
X
( ) = +1:
2Z
8 ; 2R