Formes modulaires modulo l'ordre de nilpotence des

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ar X iv :1 20 4. 10 36 v1 [ ma th. NT ] 4 A pr 20 12 Formes modulaires modulo 2 : l'ordre de nilpotence des opérateurs de Hecke Jean-Louis NICOLAS a, Jean-Pierre SERRE b aCNRS, Université de Lyon, Institut Camille Jordan, Mathématiques, F-69622 Villeurbanne Cedex, France. bCollège de France, 3 rue d'Ulm, F-75231 Paris Cedex 05, France. Abstract The nilpotence order of the mod 2 Hecke operators. Let ∆ = ∑∞m=0 q(2m+1) 2 ? F2[[q]] be the reduction mod 2 of the ∆ series. A modular form f modulo 2 of level 1 is a polynomial in ∆. If p is an odd prime, then the Hecke operator Tp transforms f in a modular form Tp(f) which is a polynomial in ∆ whose degree is smaller than the degree of f , so that Tp is nilpotent. The order of nilpotence of f is defined as the smallest integer g = g(f) such that, for every family of g odd primes p1, p2, . . . , pg, the relation Tp1Tp2 . . . Tpg(f) = 0 holds. We show how one can compute explicitly g(f); if f is a polynomial of degree d in ∆, one finds that g(f) << d1/2.

f2-espaces vectoriels

pr modulo

ordre de nilpotence

exposant dominant

extension finie de f2

opérateur de hecke tp

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Formes modulaires modulo2: l’ordre de nilpotence des opérateurs de Hecke a b JeanLouis NICOLAS , JeanPierre SERRE a CNRS, Université de Lyon, Institut Camille Jordan, Mathématiques, F69622 Villeurbanne Cedex, France. b Collège de France, 3 rue d’Ulm, F75231 Paris Cedex 05, France.

Abstract

The nilpotence order of the mod 2 Hecke operators. P 2 ∞(2m+1) LetΔ =q∈F2[[q]]be the reduction mod 2 of theΔseries. A modular formfmodulo2of level m=0 1 is a polynomial inΔ. Ifpis an odd prime, then the Hecke operatorTptransformsfin a modular formTp(f) which is a polynomial inΔwhose degree is smaller than the degree off, so thatTpis nilpotent. The order of nilpotence offis deﬁned as the smallest integerg=g(f)such that, for every family ofgodd primesp1, p2, . . . , pg, the relationTp1Tp2. . . Tpg(f) = 0holds. We show how one can compute explicitlyg(f); iff 1/2 is a polynomial of degreedinΔ, one ﬁnds thatg(f)<< d.

Keywords:modular forms modulo2, Hecke operators, order of nilpotence.

Mathematics Subject Classiﬁcation 2000:11F33, 11F25.

1. Introduction

∞ ∞ Y X n24n SoitΔ(q) =q(1−q) =τ(n)qoùτest la fonction de Ramanujan. Soitkun entier>0. n=1n=1 ∞ X k n On écritΔ (q) =τk(n)q .Les congruences connues surτ(n2)) (mod (cf. [5]), montrent queΔ(q)≡ n=k ∞ X 2 (2m+1) q(mod 2), ce qui entraîne m=0

Email addresses:jlnicola@in2p3.fr, http://math.univlyon1.fr/∼nicolas/(JeanLouis NICOLAS), jpserre691@gmail.com(JeanPierre SERRE).

Cet article va paraître aux C.R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 350 (2012),http://dx.doi.org/10.1016/j.crma.2012.03.013

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