Fiche d'analyse theoremes d'analyse et leur demonstration
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Fiche 3 d'analyse : theoremes d'analyse et leur demonstration 13 mars 2011 I Theoremes portant sur les fonctions continues Theoreme 1 (des valeurs intermediaires) Soit f une fonction a valeurs reelles definie et continue sur un intervalle I. Soit (a, b) ? I2 avec a < b et f(a) < f(b) (resp. f(a) ≥ f(b)). Pour tout y ? [f(a), f(b)] (resp. y ? [f(b), f(a)]), il existe x ? [a, b] tel que y = f(x). Autrement dit, la fonction f prend toutes les valeurs entre f(a) et f(b). La demonstration differe de celle vue en cours. Ici on emploie la dichotomie. Demonstration. — Nous traitons le cas ou f(a) < f(b), le cas f(a) ≥ f(b) se traitant de maniere analogue. Pour etablir le theoreme des valeurs intermediaires, nous allons utiliser le procede de dichotomie. On construit par recurrence deux suites (an)n et (bn)n contenues dans [a, b] et ayant les proprietes suivantes : 1. a0 = a et b0 = b ; 2.
Voir
- interpretation graphique du theoreme des accroissements finis
- demonstration
- ?n ?
- principe de la demonstration
- theoreme
- corde joignant le point
- interpretation geometrique
- existence de la limite
Fiche3d’analyse:th´eor`emesd’analyseetleurd´emonstration
13mars2011
ITh´eor`emesportantsurlesfonctionscontinues
The´ore`me1(desvaleursinterme´diaires)Soitfurneuustnniunefoncruele´rsnoitava`iefincoetleel´esd 2 intervalleI.Soit(a, b)∈Iaveca < betf(a)< f(b)(resp.f(a)≥f(b)). Pour touty∈[f(a), f(b)](resp. y∈[f(b), f(a)]), il existex∈[a, b]tel quey=f(x).
Autrement dit, la fonctionfprend toutes les valeurs entref(a) etf(biffndre`etrnsioatdaL.ome´)euedecllve en cours. Ici on emploie la dichotomie. De´monstrationstou—N.`oucesanolsartif(a)< f(b),le casf(a)≥f(b)se.guitanetrana`idtmeanolreae Pour´etablirlethe´ore`medesvaleursinterm´ediaires,nousallonsutiliserleproc´ede´dedichotomie.On construitparr´ecurrencedeuxsuites(an)net (bn)ncontenues dans [a, b:elpsorrpe]ataytnuivantesi´et´ess 1.a0=aetb0=b; 2. lessuites (an)net (bn)n;sont adjacentes 3.∀n∈N, f(an)≤y≤f(bn). Avantdeconstruirepre´cise´mentlesdeuxsuites,voyonscommentconclure. •`rse.2l,seustised’a(pan)net (bn)nˆeemunrsventgeervnocimetemilx.De plusx∈[a, b],r`esd’ap..1 •la fonctionfnutiuresanetontc´I,donc sur [a, b],elle est continue enx.s´equent,Parcon limf(an) =limf(bn) =f(x). n→+∞n→+∞ •cadrl’endansmiteuoevnort3t,.mene:a`tnilalpnEassa f(x)≤y≤f(x). D’ou`y=f(xroe`emse´ttebail.e´htelte)
Ilreste`aconstruirelessuites(an) et (bn:eliercngatien’susniniplsquemoinqilppa’delreu)pr´arurec proce´d´ededichotomie!Commeindiqu´ea0=aetb0=b.Opusntepaeachaque´posequ’`nde construction f(an)≤y≤f(bn). an+bn ` Al’e´tape(n+ 1),neermid´etonc=f( ).enntt:fiedserugrpesese´xuaceD 2 an+bn •sic > y,alors on posean+1=anetbn+1= ; 2 an+bn •sic≤y,alors on posean= etbn+1=bn. 2 Les suites (an)net (bn)nilraPa..t3.es1´e(setiussel,sruelfienta´erictoenssvtirnusii´iteorrpelpsibnean)n et (bn)nsont bien adjacentes. En effet : (an)nest croissante par construction; (bn)nsedtoiss´ecrparante bn−an construction ;∀n∈N, an≤bnet limbn−an= 0 car∀n∈N, bn+1−an+1ciuqudno=a`tice 2 n→+∞ b0−a0 bn−an=npour toutn∈N. 2 2
Corollaire 1Soitfnoiteectfieinse´deellrsr´aleun`avoitcnofenuelteinalrvesnuunurI.Alorsf(I),l’image directe deIparf, est un intervalle.
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