Explicit solutions for integrable systems and applications

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Explicit solutions for integrable systems and applications Pol Vanhaecke Université de Poitiers Lyon, November 27, 2009

∂g ∂pi

laurent series

abelian varieties

theta functions

∂f ∂qi

dqi ?

minimal surface

Voir

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Explicit solutions for integrable systems and applications

Pol Vanhaecke

Université de Poitiers

Lyon, November 27, 2009

Introduction : two theorems

Two types of“integrable” systemsin this talk IA vector ﬁeldx˙=f(x)on a smooth manifoldM IA PDEut=F(u,ux,uxx, . . .)

Introduction : two theorems

Two types of“integrable” systemsin this talk IA vector ﬁeldx=˙f(x)on a smooth manifoldM IA PDEut=F(u,ux,uxx, . . .)

“Explicit” solutions I ; theta functions ; Schur polynomialsRational solutions IFormal solutions Laurent series ;

IUnivalent, periodic, quasi-periodic solutions ISolitons, ∙ ∙ ∙

Introduction : two theorems

Two types of“integrable” systemsin this talk IA vector ﬁeldx=˙f(x)on a smooth manifoldM IA PDEut=F(u,ux,uxx, . . .)

“Explicit” solutions I ;Rational solutions ; theta functions Schur polynomials I ;Formal solutions Laurent series

IUnivalent, periodic, quasi-periodic solutions ISolitons,∙ ∙ ∙

Applications IAbelian varieties, moduli spaces IRandom permutations, brownian motions IMinimal surfaces,∙ ∙ ∙

The Liouville theorem

I(M, ω)a symplectic manifold of dimension 2n I(F1, . . . ,Fn)independent functions in involution Then for a generic pointm0inM, the integral curve (solution) of eachXFistarting frommcan be determined by quadratures.

Voir