UNSA Complements d'algebre et d'analyse L2

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Niveau: Supérieur, Licence, Bac+2
UNSA – Complements d'algebre et d'analyse – L2 2009-2010 Examen du 18 decembre 2009 Duree : 2h00. Tous documents interdits. Bareme indicatif : 4 + 6 + 4 + 6 1. Injectivite, surjectivite, bijectivite. 1.a. Soient f : E1 ? E2, g : E2 ? E3 et h : E3 ? E4 des applications ensemblistes. On suppose que g ?f : E1 ? E3 et h?g : E2 ? E4 sont bijectives. Montrer que g est une application a la fois surjective et injective. En deduire que f, g et h sont des applications bijectives. 1.b. Soit f : E ? E une application ensembliste. On suppose que f ?f ?f = f . Montrer que si f est injective, alors f est surjective. Montrer que si f est surjective, alors f est injective. En deduire que si f n'est pas bijective, alors f n'est ni injective ni surjective. 2. Decomposition en elements simples et serie formelle. Soit la fraction rationnelle s(X) = 3 2?X ?X2 . 2.a. Decomposer s(X) en elements simples. 2.b. Soit (sn)n≥0 la suite recurrente definie par s0 = 3 2 , s1 = 3 4 , sn+2 = 1 2 (sn+1 + sn) pour n ≥ 0.

y? ?

solution particuliere

solutions reelles de l'equation homogene

e1 ?

solution de l'equation differentielle

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UNSA–Compl´emenst’dla`gbeerte’dalaneys–L2 2009-2010 Examendu18de´cembre2009 Dur´ee:2h00.Tousdocumentsinterdits. Bareˆmeindicatif:4+6+4+6 1.Injectivit´e,surjectivit´e,bijectivite´. 1.a.Soientf:E1→E2, g:E2→E3eth:E3→E4des applications ensemblistes. Onsuppose queg◦f:E1→E3eth◦g:E2→E4sont bijectives. Montrer quegnE.evitceriude´dtiecrjsujeinetveilacitnoa`alofsiestuneapp quef, gethsont des applications bijectives. 1.b.Soitf:E→Eune application ensembliste.On suppose quef◦f◦f=f. Montrer que sifest injective, alorsfest surjective.Montrer que sifest surjective, alorsfreuiedd´iesquniejets.enEtcvifn’est pas bijective, alorsf n’est ni injective ni surjective.

2.D´ecompositionene´le´mentssimplesets´erieformelle.Soit la fraction rationnelle 3 s(X) =. 2 2−X−X 2.a.soreDe´ocpms(X).selentssimpen´el´em 2.b.Soit (sn)n≥0r´teurecluias´eedntrerpaieﬁn 3 31 s0=, s1=, sn+2= (sn+1+sn) pourn≥0. 2 42 P n Montrerquelas´erieformellesnXnnleelalafractionratioi’stned`eﬁi n≥0 s(X) dansC[[X]]. 2.c.riude´Deed2.aet2.bune formule explicite poursn, n≥term.D´ereni0 limn→∞sn.

3.Equationsdiﬀ´erentiellesdusecondordre. 3.a.eDdoensnfeornlc’ensemblfxiodse´itnodsuevariesblR→R:x7→y(x) 00 02x quisontsolutionsdel’e´quationdiﬀe´rentielley(x) +y(x)−6y(x) =xe. 3.b.’lneesbmeledfsnoctionsdeuxfoisd´vireelbasrennoDR→R:x7→y(x) 00 quisontsolutionsdel’e´quationdiﬀ´erentielley(x) + 4y(x) = 0. 3.c.vireelbaofxu´dsiioctdensdeleonsfernnDosmbseenl’R→R:x7→y(x) 00 quisontsolutionsdel’´equationdiﬀ´erentielley(x) + 4y(x) = cos(2x).

4.Exponentielledematriceete´quationdiﬀ´erentielleline´aire.On   2 1 1   conside`relamatriceA2 1= 1∈M3(R). 1 1 2

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