Universite Pierre et Marie Curie Paris LM Algebre Calcul Vectoriel Matthieu Solnon Groupe de TD n
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Niveau: Supérieur
Universite Pierre et Marie Curie - Paris 6 LM 121 : Algebre 1 - Calcul Vectoriel Matthieu Solnon - Groupe de TD n?11.4 Devoir surveille n?2 - Corrige Vendredi 4 novembre 2011 Exercice n?1 : 1. On definit les vecteurs ??u , ??v et ??w de R3 par leurs coordonees : ??u ? ? u1 u2 u3 ? ? , ??v ? ? v1 v2 v3 ? ? et ??w ? ? w1 w2 w3 ? ? . On peut donc ainsi definir le determinant de ??u , ??v et ??w par det (??u ,??v ,??w ) = u1 ???? v2 w2 v3 w3 ????? u2 ???? v1 w1 v3 w3 ????+ u3 ???? v1 w1 v2 w2 ???? . = u1v2w3 ? u1v3w2 ? u2v1w3 + u2v3w1 + u3v1w2 ? u3v2w1 . 2. La propriete d'homogeneite s'ecrit ?(??u ,??v ,??w ) ? (R3)3 ?? ? R, det (???u ,??v ,??w ) = ?det (??u ,??v ,??w ) et la propriete d'invariance par combinaison lineaire de colonnes peut s'ecrire ?(??u ,??v ,??w ) ? (R3)3 ?(?, µ) ? R2, det (??u + ???v + µ??w,??v ,??w ) = det (??u ,??v ,??w ) .
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Universite Pierre et Marie Curie - Paris 6 LM 121 : Algebre 1 - Calcul Vectoriel Matthieu Solnon - Groupe de TD n?11.4 Devoir surveille n?2 - Corrige Vendredi 4 novembre 2011 Exercice n?1 : 1. On definit les vecteurs ??u , ??v et ??w de R3 par leurs coordonees : ??u ? ? u1 u2 u3 ? ? , ??v ? ? v1 v2 v3 ? ? et ??w ? ? w1 w2 w3 ? ? . On peut donc ainsi definir le determinant de ??u , ??v et ??w par det (??u ,??v ,??w ) = u1 ???? v2 w2 v3 w3 ????? u2 ???? v1 w1 v3 w3 ????+ u3 ???? v1 w1 v2 w2 ???? . = u1v2w3 ? u1v3w2 ? u2v1w3 + u2v3w1 + u3v1w2 ? u3v2w1 . 2. La propriete d'homogeneite s'ecrit ?(??u ,??v ,??w ) ? (R3)3 ?? ? R, det (???u ,??v ,??w ) = ?det (??u ,??v ,??w ) et la propriete d'invariance par combinaison lineaire de colonnes peut s'ecrire ?(??u ,??v ,??w ) ? (R3)3 ?(?, µ) ? R2, det (??u + ???v + µ??w,??v ,??w ) = det (??u ,??v ,??w ) .
- ????h1h2 ·
- passant par h2
- propriete d'invariance par combinaison lineaire de colonnes
- u1 w1
- ????
- v1 w1
- unique droite
- droite d2
- unique point
Universit´ePierreetMarieCurie-Paris6 LM121:Alge`bre1-CalculVectoriel Matthieu Solnon - Parcours SHI et SPH
◦ Exercice n 1 :
Mercredi 2 mai 2012
◦ Devoirsurveill´en2-Correction
L’e´galite´s’e´crit: 3 2 ∀(u, v)∈(R),|u∙v| ≤ kukkvk etl’e´galit´ealieusietseulementsilesvecteurssontli´es. 3 2 Preuve :Soituetvdeux vecteurs deR. Soitt∈Rorsn,consid´eku+tvk= (u+tv)∙(u+tv). Lesproprie´te´sduproduitscalaireimpliquentque 2 22 22 ku+tvk=u∙u+ 2t(u∙v) +t(v∙v) =kuk+ 2t(u∙v) +tkvk.(?) 2 Ainsiku+tvkene(´rgeddnocesudemotuntrinˆest) et est toujours positif (c’est un carr´e).Sondiscriminantr´eduitestdonctoujoursn´egatif(sinon,letrinoˆmeseraitn´egatif pourcertainsr´eelst) : 02 22 Δ =(u∙v)− kuk kvk ≤0. 2 22 Ainsi (u∙v)≤ kuk kvket commekuketkvksont positifs ceci montre que|u∙v| ≤ kukkvk. Concernantlecasd’e´galit´e,silesvecteurssontlie´salorsilexisteunr´eelλtel queu=λv 2 et alors|u∙v|=|λ||u∙u|=|λ||u|=kukkvk. 0 Re´ciproquementsi|u∙v|=kukkvk(duitΔdutrinˆomeidelmircnanie´rtarslo?) est nul. 2 Cetrinoˆmeposse`dedoncuneuniquesolutionλ. On a doncku+λvk= 0. La norme du vecteuru+λvest nulle, ce vecteur est donc nul :u+λv= 0. Les vecteursuetvsont doncli´es.
◦ Exercice n 2 :
On est ici dans le cas d’une transformation de la formez7→az+b`u,oaetbsont des nombres complexes. Il s’agit d’une similitude, et comme √ 1 3 |a|= +i= 1 2 2
latransformation´etudi´eeestunerotation.L’angledecetterotationestdonne´par ! √ 1 3π arg +i=. 2 23
1
On cherche alors le centre Ω(ωafiirtn)iopemmocledexfitnnsfoatraion,rmat-ta`’csevee´d-ri l’e´quation ! ! √ √√ 1 33 31 3 ω= +i ω+ 1 ++ +i . 2 22 22 Ainsi ! ! ! √ √√ √ 1 31 33 31 3 ω−+i ω=−i ω+ += 1 +i , 2 22 22 22 Et donc √√ 3 31 3 1 ++ +i 2 22 ω=√ 1 3 −i 2 2 ! ! ! √ √√ 3 31 31 3 ω+= 1+ +i+i 2 22 22 √ √√ √ 1 33 39 13 33 ω= +i+ +i+i−+i− 2 24 44 4 4 4 ! √ √ 1 3 53 3 ω=−+ + +i . 4 22 4
Remarque :ardelartit`apperaed´disnorpsenetaetbotnanxe’lri´erlfie´eerltsuOpnuevt solutiontrouve´e!
◦ Exercice n 3 :
1.Onr´esoudlesyst`emeλu+µv`u=0,oλetµso.Alssiinserbee´redtnmons 3λ+ 3µ= 0λ=−µ 2λ= 0⇔λ= 0. λ+µ= 0λ=−µ Laseulesolution`acesyste`meestdonclecouple(0,0). Les vecteursuetvsont donc lin´eairementinde´pendants. Remarque :On aurait aussi pu calculer le produit vectoriel deuet dev. S’il est nul, lesvecteurssontcoline´aires,sinonilsnelesontpas.Icilesyst`emeestplusrapide! 2.Onr´esoudlesyst`emeλu+µv+νw=o`0,uλ,µetνdtnoonsesiAinsels.sr´embre −λ+µ= 0λ=µλ=µ µ+ν= 0⇔µ=−ν⇔µ=−ν . λ+µ+ 2ν= 0λ+µ=−2ν0 = 0(L3←L3−L1−L2) Cesyst`emeposs`ededoncaumoinsunesolution,parexempleletriplet(1,1,−1) (u+v−wrtpa.L!)sl`e=´eed(mafaellipeapens’rdoievrcvuopno,0issuatiau, v, w) estdoncli´ee.
◦ Exercice n 4 :
2
1. UnpointN(ed´eesodnnocrox, y, z) appartient au planPsi et seulement si la famille −→−→ (AN , u, v’cse-ta`tsile´,e)e(tedistnmeleeutsieesir-dAN , u, v) = 0. Calculons ce d´eterminant: x−11 1x−01 1 C3←C3−C2 y2−2y2−4 = z−12 3z−2 3−2 Ond´eveloppeparrapport`alepremi`ereligne,led´eterminantvautdonc: 2−4y−4 (x−1)−= 8x−8 + 2y−4z+ 8 = 8x+ 2y−4z . 3−2z−2−2 Unee´quationcart´esiennedePest donc 4x+y−2z= 0. Remarque :nvseurrentfiari´ebmonedreresesuerseuqleOeunp´tnetivecaftmeli coordonne´esdeA.auqenoituortee´vanntl’´ulen 0 2.Unvecteurnormala`Pest (par exemple) le vecteurn2s(een´onrdooecd,−3,1). La droiteDereeparig´ncdistdonet passe parB. Un pointMorconndosee´de(x, y, z) −−→ appartient`aDsi et seulement siBMetntnuestemele´iaers,snoctloni-diresiec’est-`a −−→−−→−→ s’ilexisteunre´elλtel queBM=λnqeiuc,nt`avaleequiest´OM=OB+λn. On obtientdonclarepr´esentationparame´triquesuivante: x=−2 + 2λ y= 3−3λ . z= 1+λ On utilise ensuite par exempleλ=z−ysusrave’´edemt`noitauqes1rairopru carte´siennes: x−2z= 0+ 4 . y+ 3z−6 = 0 Le triplet (0,0,ndecesysssolution)e’tsap0,eme`tDne passe donc pas par 0 et n’est pas une droite vectorielle. Remarque :eruesvne´irafitnuqdenombreuseserrelicanemeve´tretinpOtieuauciifss lescoordonn´eesdeBcsraitnoeinn´tset`emusysequaed’´stnosdnoitulo.euo´vsert
◦ Exercice n 5 :
1 4−42 1−42 1−2 L2←L2−3L1L3←L3+ 2L1 Δ =3−7 10−019 7−19 7. = = −2 53−2 53 013−1 End´eveloppantparrapporta`lapremi`ereligneonobtientalors −19 7 Δ = 1×= (−19)(−1)−7×13 =−72. 13−1 0 ConcernantΔonobservequeladeuxi`emecolonnedude´terminantestledoubledela premie`re,donclesvecteurscorrespondantauxcolonnesformentunefamilleli´ee.Ainsi 0 Δ =0.
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