Universite Pierre et Marie Curie Paris LM Algebre Calcul Vectoriel Matthieu Solnon Parcours SHI et SPH
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Niveau: Supérieur
Universite Pierre et Marie Curie - Paris 6 LM 121 : Algebre 1 - Calcul Vectoriel Matthieu Solnon - Parcours SHI et SPH TE n?2 - Corrige Mercredi 21 mars 2012 Exercice n?1 : Voici quelques erreurs commises dans les questions. (a) Dans la definition d'une famille liee c'est : il existe (a1, . . . , an) ? Rn, (a1, . . . , an) 6= (0; 0; 0) tel que a1 ??u 1 +a2 ??u 2 +a3 ??u 3 + · · ·+an ??u n = ?? 0 . Une famille est alors libre quand pour toute famille (a1, . . . , an) ? Rn, si (a1, . . . , an) 6= (0; 0; 0) alors a1 ??u 1+a2 ??u 2+a3 ??u 3+· · ·+an ??u n 6= ?? 0 . (b) Si (a1; a2; . . . ; an) = (0; 0; . . . ; 0) alors pour toute famille ??u 1, ??u 2, . . . , ??u n ? (R2)n, a1 ??u 1 + a2 ??u 2 + · · · + an ??u n = 0. C'est evidemment vrai mais cela n'exprime pas la liberte d'une famille.
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Universite Pierre et Marie Curie - Paris 6 LM 121 : Algebre 1 - Calcul Vectoriel Matthieu Solnon - Parcours SHI et SPH TE n?2 - Corrige Mercredi 21 mars 2012 Exercice n?1 : Voici quelques erreurs commises dans les questions. (a) Dans la definition d'une famille liee c'est : il existe (a1, . . . , an) ? Rn, (a1, . . . , an) 6= (0; 0; 0) tel que a1 ??u 1 +a2 ??u 2 +a3 ??u 3 + · · ·+an ??u n = ?? 0 . Une famille est alors libre quand pour toute famille (a1, . . . , an) ? Rn, si (a1, . . . , an) 6= (0; 0; 0) alors a1 ??u 1+a2 ??u 2+a3 ??u 3+· · ·+an ??u n 6= ?? 0 . (b) Si (a1; a2; . . . ; an) = (0; 0; . . . ; 0) alors pour toute famille ??u 1, ??u 2, . . . , ??u n ? (R2)n, a1 ??u 1 + a2 ??u 2 + · · · + an ??u n = 0. C'est evidemment vrai mais cela n'exprime pas la liberte d'une famille.
- exercice n?4
- debut du polynome avec le debut du developpement
- factorisation du polynome
- racine carree du membre
- ??u
- equation
- relations coefficients-racines
Universit´ePierreetMarieCurie-Paris6 LM121:Alg`ebre1-CalculVectoriel Matthieu Solnon - Parcours SHI et SPH
◦ Exercice n 1:
◦ TEn2-Corrige´ Mercredi 21 mars 2012
Voici quelques erreurs commises dans les questions. n (a)Danslade´finitiond’unefamilleli´eec’est:ilexiste(a1, . . . , an)∈R, (a1, . . . , an)60; 0)= (0; −→ −→ −→ −→−→ tel quea1u1+a2u2+a3u3+∙ ∙ ∙+anun= 0. Une famille est alors libre quand pour toute n−→−→ −→ −→ famille (a1, . . . , an)∈R, si (a1, . . . , an)60; 0) alors= (0;a1u1+a2u2+a3u3+∙ ∙ ∙+anun6= −→ 0 . −→ −→−→2n−→ (b) Si(a1;a2;. . .;an0;) = (0;. . .alors pour toute famille; 0)u1, u2u, . . . ,n∈(R) ,a1u1+ −→−→ a2u2+∙ ∙ ∙+anunidevt´esvrntmeemecsiamiarpxe’nalimepaslalibert´e’dnue.0’C= −→ −→−→ famille. Il faut dire que sia1u1+a2u2+∙ ∙ ∙+anun= 0 alors (a1;a2;. . .;an) = (0;0;. . .; 0). (c)Meˆmeremarque. 3 2 (d)Icilare´ponsetraıˆtelecasdedeuxvecteursdeR, et non pas denvecteurs deR. Il semble −→ 2−→−→ yavoiraussiuneerreurdeDanscecadrel`alaphrase∃(a, b)∈Rtel quea u+b v6= 0 −→−→3−→−→3 avec (u ,v)∈Rest toujours vraie quand (vu ,)∈R!ne sont pas tous les deux nuls −→ −→ En effet siu6= 0 ilsuffit de prendre (a, b) = (1,0) et sinon (a, b) = (0,beli´ert1La).edal −→ 2−→−→ familles’´ecrit∀(a, b)∈R(a, b)6= (0,0)⇒a u+b v6atdnsiuq=,0ert`i´elecelacart´’seirce −→ 2→−→− ∃(a, b)∈R,(a, b)6= (0,0) eta u+b v.= 0 −→−→−→ (e)Quefaut-ilcomprendre?Quandetcommentsontfix´eslesvecteursu,v,weltee´rssle (a;b;clsse-tliseuanuds?Ondtresitauevraˆtulpisss:eriltoi(?D)pe´eennda;b;c)60; 0)= (0; −→−→−→ alors les vecteursu,v,wtnosli´es. 2n Uneformulationdelaliberte´d’unefamille(u1, . . . , un)∈(Rtse)se´lederemilltefartou:pou n (a1, . . . , an) sia1u1+∙ ∙ ∙+anun= 0 alors (a1, . . . , an) = (0, . . . ,0) (∀(a1, . . . , an)∈R, a1u1+ ∙ ∙ ∙+anun= 0⇒(a1, . . . , an) = (0, . . . ,0)). Onpeutl’exprimerparsacontrapos´ee:pourtoutefamilledere´els(a1, . . . , an) si (a1, . . . , an)6= n (0, . . . ,0) alorsa1u1+∙ ∙ ∙+anun6= 0 (∀(a1, . . . , an)∈R,(a1, . . . , an)6= (0, . . . ,0)⇒a1u1+ ∙ ∙ ∙+anun6= 0). Enfinlecaracte`relie´decettefamilles’´ecrit:ilexisteunefamilleder´eels(a1, . . . , an) telle n que (a1, . . . , an)6= (0, . . . ,0) eta1u1+∙ ∙ ∙+anun= 0 (∃(a1, . . . , an)∈R,(a1, . . . , an)6= (0, . . . ,0) eta1u1+∙ ∙ ∙+anun= 0).
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◦ Exercice n 2:
1. [∀x∈E, p(x) etq(x)]⇔[∀x∈E, p(x)] et [∀x∈E, q(x)] En effet si∀x∈E, p(x) etq(x) alors pour unaquelquonque dansEon ap(a), donc ∀x∈E, p(x) et pour unaquelconque dansEon aq(a), donc∀x∈E, q(x). On a donc bien [∀x∈E, p(x)] et [∀x∈E, q(x)]. R´eciproquementsi[∀x∈E, p(x)] et [∀x∈E, q(xAinsitvraies.ce)]eusde´tenossorpx´irp pour unaquelquonque dansE p(ae´´tpoir)ete)ire´vtsere(peefi´prre`emiq(a´eriestv)fi´ee (secondeproprie´te´),doncp(x) etq(x) est vraie, donc∀x∈E, p(x) etq(x). 2. [∃x∈E, p(x) etq(x)]⇒[∃x∈E, p(x)] et [∃x∈E, q(x)] Supposons que∃x∈E, p(x) etq(xrPne.)´nlenousnt´emeadansEtnafiiv´erp(a) etq(a). Alorsp(a) est vraie donc∃x∈E, p(x) etq(x) est vraie, donc∃x∈E, q(x). Ainsi [∃x∈E, p(x)] et [∃x∈E, q(x)]. Lar´eciproquen’estpasvraie:cen’estpasparcequelaproprie´te´pest vraie enxet que lapropri´ete´qest vraie enyquex=y. Contre-exemple :E=N,p(x) :x >2 etxest premier,q(x) :xest pair. 3. [∀x∈E, p(x) ouq(x)]⇐[∀x∈E, p(x)] ou [∀x∈E, q(x)] On suppose que [∀x∈E, p(x)] ou [∀x∈E, q(x)]. Soit unaquelconque dansE. Supposons que∀x∈E, p(x). Alorsp(a) est vraie doncp(a) ouq(a) aussi. Sinon∀x∈ E, q(x), doncq(a) est vraie doncp(a) ouq(a) aussi. Ainsip(a) ouq(a) est vraie. Lar´eciproquen’estpasvraie.Contre-exemple:E=N,p(x) :xest pair,q(x) ;xest impair. 4. [∃x∈E, p(x) ouq(x)]⇔[∃x∈E, p(x)] ou [∃x∈E, q(x)] Supposons que∃x∈E, p(x) ouq(x). SoitadansEire´tnafivp(a) ouq(a). Sip(a) est vraie alors∃x∈E, p(x), sinonq(a) est vraie donc∃x∈E, q(x). Ainsi [∃x∈ E, p(x)] ou [∃x∈E, q(x)] R´eciproquementsi[∃x∈E, p(x)] ou [∃x∈E, q(x)], supposons que∃x∈E, p(x). Prenonsl’´ele´mentatel quep(a) est vraie.p(a) ouq(a) est donc vraie donc∃x∈ E, p(x) ouq(x). Sinon∃x∈E, q(xsn’le´´l)P.eronementatel queq(a) est vraie. p(a) ouq(a) est donc vraie donc∃x∈E, p(x) ouq(x).
◦ Exercice n 3: e PourunpolynoˆmePon notePdemeAld’beem-rtioctonaflnpolynomialeassoice´.eeLhTe´roe` Gausss’e´critdonc e ∀P∈C[X],deg(P)≥1⇒[∃α∈C, P(α) = 0].
◦ Exercice n 4:
1. Vrai.Six∈R,x >4⇒x >3. 2. Vrai.Six∈R,x >3⇒x6= 2. 3. Vrai.Six∈R,x≥3⇒x≥2.
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4. Faux.Contre-exemple :x=−3. 5.Faux.C’estuneconditionsuffisante,pasn´ecessaire.
◦ Exercice n 5: Lare´solutiondelapremie`ree´quationesticienti`erementd´etaille´e.Ondonnejustelese´tapesa` r´ealiserpourlesautres,leraisonnementestlemeˆme! 2 1.–Ondivised’abordl’´equationpar2pourobtenirz+ (5i+ 3)z+ 14−6i= 0. On identifie 2 22 ensuitelede´butdupolynˆomeavecled´ebutdude´veloppementde(z−α) =z−2zα+α. 2 Cecicorresponddonc`aα=−(5i+ 3)/te)2cnoda`α= (−16 + 30i)/4 =−4 + 15i/2. 2 22 Onobtientdoncl’´equation(z−α)−α+ 14−6i= 0, soit (z−α) =−18 + 27i/2. –Onchercheuneracinecarre´ede−18 + 27i/2. Posonsz=x+iyet cherchonsxety 2 tels quez=−18 + 27i/rtpaimieinagreaiomteeludno2.Entifiaidentreitnapll,e´ree obtientalorslesyst`emesuivant: 2 2 x−y=−18 2 459 2x=−=18 + 2 2 27 2xy= 27 2⇔xy=>0. q4 2 2 4581 2 22 27 45 x+y= 18+ =2y= +18 = 2 2 4 2 On a doncx∈ {3/2,−3/2}ety∈ {9/2,−9/2}avec la conditionxy >0. Une racine carr´eedumembrededroiteestdonc 3 9i β1= +. 2 2 2 22 2 –Lepolynoˆmes’´ecritdonc(z−α) =β`t(alaneivqu´estiequce,z−α)−β= (z−α− 1 1 β1)(z−α+β1) = 0. Il y a donc deux solutions, qui sont z1=α+β1=−3−7ietz2=α−β1= 2i . –Ontrouvebiendeuxsolutionsa`l’e´quation.Pourve´rifierquelasolutionestbienlabonne onpeutsoitv´erifierquez1etz2queifier´vreostira,t´dpetiuadeonnlieeq’´fiirebtne´vz1 etz2v´etsenciefficonsioatlerselneibtnefiire(inac-rnnieivqu(edtnez−z1)(z−z2) = 2 z−(z1+z2)z+z1z2). Ici on a bienz1+z2=−5i−3 etz1z2= 14−6i. Unefactorisationdupolynˆomeest2(z−2i)(z+ 3 + 7i). 2 2 2.–L’e´quationeste´quivalente`az−(2+i)z+5i−(crits’´eequi1=0cz−(1−i/72)) =/4−6i. –Lesyst`emeobtenuest 2 27 x−y= 2 725 42x= 8= + 4 4 2xy=−6 ⇔xy=−3<0. q 2 7 252 257 9 2 2 x+y236 == +y=−= 4 4 2 4 4 Une solution est doncβ1= 2−3i/2. –Lessolutionsdel’e´quationsontdonc3−4iet−1 +i. –Ilyabiendeuxsolutionsquiv´erifientlesrelationscoefficients-racines:3−2i+(−1+i) = 2−iet (3−2i)(−1 +i) = 5−i. Unefactorisationdupolynˆomeest3(z−i+ 1)(z−3 + 2i).
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