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Niveau: Supérieur, Licence, Bac+3
Université Pierre et Marie Curie Licence Sciences et Technologies MIME Examen de l'UE LM125 « Espaces vectoriels » Septembre Corrigé Exercice 1 Pour t réel fixé, soit ut l'endomorphisme de défini par 3R ( ) (sin ) , ( ) (cos ) , ( ) (sin ) (cos )t t tu i j t k u j i t k u k t i t j= ? ? = + = ? + où ( i , j , k ) est la base canonique de . 3R a) Écrire la matrice At de ut relative à la base canonique de . 3R 0 1 sin 1 0 cos sin cos 0 t t A t t t ?? ?? ?= ?? ?? ??? ? Commentaire : attention à ne pas écrire (on l'a vu souvent dans les copies) au lieu de l amatrice sa transposée. b) Déterminer une base de . ker tu Pour trouver le noyau on a à résoudre le système sin 0 cos 0 sin cos 0 y z t x z t x t y t ? =?? ? +??? + =? = qui admet pour solution . cos , sinx z t y t= = Le noyau est donc de dimension 1, une base étant par exemple .
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Université Pierre et Marie Curie Licence Sciences et Technologies MIME Examen de l'UE LM125 « Espaces vectoriels » Septembre Corrigé Exercice 1 Pour t réel fixé, soit ut l'endomorphisme de défini par 3R ( ) (sin ) , ( ) (cos ) , ( ) (sin ) (cos )t t tu i j t k u j i t k u k t i t j= ? ? = + = ? + où ( i , j , k ) est la base canonique de . 3R a) Écrire la matrice At de ut relative à la base canonique de . 3R 0 1 sin 1 0 cos sin cos 0 t t A t t t ?? ?? ?= ?? ?? ??? ? Commentaire : attention à ne pas écrire (on l'a vu souvent dans les copies) au lieu de l amatrice sa transposée. b) Déterminer une base de . ker tu Pour trouver le noyau on a à résoudre le système sin 0 cos 0 sin cos 0 y z t x z t x t y t ? =?? ? +??? + =? = qui admet pour solution . cos , sinx z t y t= = Le noyau est donc de dimension 1, une base étant par exemple .
- base de l'image
- dimension
- ?? ??
- polynôme
- dim keru
- ?? ?
- ker im
- somme des dimensions
- polynôme de degré inférieur
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Langue
Français
Université Pierre et Marie Curie
Licence Sciences et Technologies
MIME
Examen de l’UE LM125 « Espaces vectoriels »
Septembre
Corrigé
Exercice 1
Pour
t
réel fixé, soit
u
t
l’endomorphisme de
défini par
3
R
( )
(sin ) ,
( )
(cos ) ,
( )
(sin )
(cos )
t
t
t
u
i
j
t
k
u
j
i
t
k
u
k
t
i
t
j
=
−
−
=
+
=
−
+
où (
i , j , k
) est la base canonique de
.
3
R
a) Écrire la matrice
A
t
de
u
t
relative à la base canonique de
.
3
R
0
1
s
i
n
1
0
c
o
s
sin
cos
0
t
t
A
t
t
t
−
⎛
⎞
⎜
⎟
=
−
⎜
⎟
⎜
⎟
−
⎝
⎠
Commentaire : attention à ne pas écrire (on l’a vu souvent dans les copies) au lieu de l amatrice sa
transposée.
b) Déterminer une base de
.
ker
t
u
Pour trouver le noyau on a à résoudre le système
sin
0
cos
0
sin
cos
0
y
z
t
x
z
t
x
t
y
t
−
=
⎧
⎪
−
+
⎨
⎪
−
+
=
⎩
=
qui admet pour solution
.
cos ,
sin
x
z
t
y
t
=
=
Le noyau est donc de dimension 1, une base étant par exemple
.
cos
{
s
i
n
}
1
t
t
⎛
⎞
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
c) Déterminer la dimension de l’image
de
u
Im
t
u
t
. Donner une base de
.
Im
t
u
Par le
théorème du rang
la dimension de l’image est donc 3 – 1 = 2.
Pour trouver une base de l’image, il suffit de prendre deux vecteurs non colinéaires dans l’image,
par exemple les deux premiers vecteurs colonnes :
0
1
sin
t
⎛
⎞
⎜
⎟
−
⎜
⎟
⎜
⎟
−
⎝
⎠
et
(la non colinéarité est évidente sur les deux premières lignes).
1
0
cos
t
⎛
⎞
⎜
⎜
⎜
⎟
⎝
⎠
⎟
⎟
Commentaire : un énoncé qui demande la dimension de l’image juste après avoir calculé la
dimension du noyau doit faire penser au théorème du rang (un calcul direct est possible mais bien
plus long).
d) Est-ce que
u
t
est diagonalisable ?
Calculons le polynôme caractéristique, par exemple en développant par rapport à la première ligne :
2
2
1
s
i
n
( )
1
cos
(
cos
)
(
sin cos )
sin ( cos
sin )
sin
cos
t
u
x
t
P
x
x
t
x
x
t
x
t
t
t
t
x
t
x
t
t
x
−
−
=
−
−
=
−
−
−
+
−
−
−
=
−
−
−
3
.
1
L’endomorphisme
u
t
a donc 0 pour valeur propre, triple. S’il était diagonalisable, sa matrice serait
semblable à la matrice nulle, donc serait nulle, ce n’est pas le cas :
u
t
n’est pas diagonalisable.
Exercice 2
Soit
4
E
=
R
muni de sa base canonique
(
)
1
2
3
4
,
,
,
e
e
e
e
. On pose
0
1
2
3
1
1
2
3
2
1
2
6
2
3
,
5
2
3
,
1
2
3
6
v
e
e
e
v
e
e
e
v
e
e
=
+
−
=
−
−
+
=
−
−
+
3
e
3
1
2
3
4
4
18
6
10
,
v
e
e
e
v
e
=
−
−
+
=
On considère l’application linéaire
u
E
E
→
définie par
1
1
2
2
3
3
4
4
(
)
,
(
)
,
(
)
,
(
)
u
e
v
u
e
v
u
e
v
u
e
v
=
=
=
=
.
a) Écrire la matrice
A
de
u
dans la base canonique.
5
1
2
1
8
0
2
3
6
0
3
6
10
0
0
0
0
1
A
−
−
−
⎛
⎞
⎜
⎟
−
−
−
⎜
⎟
=
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
Commentaire : là aussi, attention à ne pas écrire la transposée et bien commencer à
v
1
et non à
v
0
.
b) Montrer que
sont linéairement indépendants et que
2
3
4
,
,
v
v
v
0
(
)
0
E
u
v
=
.
En déduire
dim
et
, puis que
Im
u
dim ker
u
(
)
2
3
4
,
,
v
v
v
est une base de Im
u
.
Le déterminant (correspondant aux trois dernières lignes)
3
6
0
6
1
0
0
0
0
1
−
−
est non nul (il vaut
) donc
sont linéairement indépendants. On a
.
6
3
0
3
=
−
+
6
=
2
3
4
,
,
v
v
v
0
1
2
3
1
2
3
(
)
6
(
)
2
(
)
3
(
)
6
2
3
0
u
v
u
e
u
e
u
e
v
v
v
=
+
−
=
+
−
=
On en déduit que
di
et
, comme par le théorème du rang on a
, on en déduit que
m Im
3
u
≥
dim ker
1
u
≥
dim ker
dim Im
4
u
u
+
dim Im
3
u
=
et
dim ker
1
u
=
.
(
2
3
4
,
,
v
v
v
)
est libre dans un sous espace de dimension 3 : c’est une base de Im
u
.
c) Calculer
.
En déduire
u
(
x
) pour
x
dans Im
u.
2
3
(
)
,
(
)
,
(
)
u
v
u
v
u
v
4
4
=
Un calcul immédiat donne
. Puisque que
2
2
3
3
4
(
)
,
(
)
,
(
)
u
v
v
u
v
v
u
v
v
=
=
(
)
2
3
4
,
,
v
v
v
est une base de
Im
u
, on en déduit que
.
Im
, ( )
x
u
u
x
∀
∈
=
x
Remarque. Le calcul est plus facile sous forme matricielle :
5
12
18
0
12
12
2
3
6
0
3
3
3
6
10
0
6
6
0
0
0
1
0
0
−
−
−
−
−
⎛
⎞
⎛
⎞
⎛
⎞
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
−
−
−
−
−
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
=
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
⎝
⎠
⎝
⎠
d) Montrer que
{
}
ker
Im
0
E
u
u
∩
=
, en déduire que
(
)
0
2
3
4
,
,
,
v
v
v
v
=
B
est une base de
E
.
Si
, on a puisque
x
est dans l’image
ker
Im
x
u
∈
∩
u
(
)
u
x
x
=
et puisque
x
est dans le noyau
, on en déduit que
et
(
)
0
u
x
=
0
x
=
{
}
ker
Im
0
E
u
u
∩
=
, donc la somme
est directe, de
dimension la somme des dimensions : 1 + 3 = 4, c’est donc
E.
On obtient alors une base de
E
en
prenant une base du noyau et une base de l’image , on obtient
B
.
ker
Im
u
+
u
2
e) Écrire la matrice de
u
dans la base
B
.
Il résulte immédiatement des questions précédentes que la matrice de
u
dans la base
B
est
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
⎛
⎞
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
.
f) Quelles sont les valeurs propres de
u
? Que vaut
?
u
u
D
Les valeurs propres de
u
sont donc 0 (simple) et 1 (triple). On a (en utilisant la matrice précédente)
u
u
u
=
D
.
Exercice 3
Soit
P
un polynôme de degré inférieur ou égal à 6 tel que le polynôme
soit divisible par
(
)
1
2
P
X
−
3
(
1
)
X
−
et que le polynôme
soit divisible par
(
)
2
0
P
X
+
4
(
1
)
X
+
.
a) Quelles sont les racines du polynôme dérivé
'
P
? Quels sont leurs ordres de multiplicité ?
Si le polynôme
(
)
1
2
P
X
−
est divisible par
3
(
1
)
X
−
, il existe un polynôme
Q
tel que
, en dérivant on obtient
3
(
)
1
2
(
)
(
1
)
P
X
Q
X
X
−
=
−
3
2
'
(
)
'
(
)
(
1
)
(
)
3
(
1
)
P
X
Q
X
X
Q
X
X
=
−
+
−
et
2
(
1
)
X
−
divise
donc 1 est racine (d’ordre 2 au moins) de
P’
. De même -1 est racine (d’ordre 3 au
moins) de
P’
. D’après le lemme de Gauss,
'( )
P
X
2
(
1
)
(
1
)
X
X
3
−
+
divise
'( )
P X
, qui est de degré au plus 5
donc il existe un réel
a
tel que
2
(
)
(
1
)
(
1
)
P
X
a
X
X
3
=
−
+
Ce qui montre que les multiplicités sont
respectivement 2 et 3 (exactement).
b) Déterminer le polynôme
.
P
On a alors en développant :
. En intégrant, on trouve qu’il existe
un réel
b
tel que
5
4
3
2
'
(
2
2
1
P
a
X
X
X
X
X
=
+
−
−
+
+
)
+
6
5
4
3
2
(
)
(
/
6
/
5
/
2
2
/
3
/
2
)
P
X
a
X
X
X
X
X
X
b
=
+
−
−
+
+
.
Il reste à écrire
qui donne
(1) 12
0
P
−
=
7 /10
12
a
b
+
=
et
(
1
)
2
0
0
P
−
+
=
qui donne
. La résolution du système en
a
et
b
est immédiate, par soustraction
11 / 30
20
a
b
−
+
=
−
16 /15
32
a
=
soit
a
=30 puis
b
= -9. Finalement on a
6
5
4
3
2
(
)
3
0
(
/
6
/
5
/
2
2
/
3
/
2
)
9
P
X
X
X
X
X
X
X
=
+
−
−
+
+
−
ou si on préfère
6
5
4
3
2
( )
5
6
15
20
15
30
9
P
X
X
X
X
X
X
=
+
−
−
+
+
−
.
3
