Universite Pierre et Marie Curie
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Niveau: Supérieur, Licence, Bac+1
Universite Pierre et Marie Curie. LM120, 2006-2007. Corrige de l'examen de janvier 2007 Question de cours. a) Le rang d'une application lineaire est la dimension de son image. b) Si (b1, . . . , bn) est une base de E1, l'image de f : E1 ? E2 est engendre par (f(e1), . . . , f(en)), donc dim(im(f)) ≤ n = dim(E1). Exercice 1. Notons A = (e1, e2, e3) = ? ? 1 1 1 1 1 b 1 a a ? ?. a) Mettons A sous forme triangulaire, par la methode du pivot de Gauss : l?2 = l2 ? l1, l?3 = l3 ? l1, alors A? = ? ? 1 1 1 0 0 b? 1 0 a? 1 a? 1 ? ? l2” = l?3, l3” = l?2 alors A” = ? ? 1 1 1 0 a? 1 a? 1 0 0 b? 1 ? ?. On deduit que la famille (e1, e2, e3) est une base si et seulement si a 6= 1 et b 6= 1. b) dim(E) = rg(A”) est egal a 1 si a = b = 1, 2 si (a = 1 et b 6= 1) ou (a 6= 1 et b = 1)
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Universite Pierre et Marie Curie. LM120, 2006-2007. Corrige de l'examen de janvier 2007 Question de cours. a) Le rang d'une application lineaire est la dimension de son image. b) Si (b1, . . . , bn) est une base de E1, l'image de f : E1 ? E2 est engendre par (f(e1), . . . , f(en)), donc dim(im(f)) ≤ n = dim(E1). Exercice 1. Notons A = (e1, e2, e3) = ? ? 1 1 1 1 1 b 1 a a ? ?. a) Mettons A sous forme triangulaire, par la methode du pivot de Gauss : l?2 = l2 ? l1, l?3 = l3 ? l1, alors A? = ? ? 1 1 1 0 0 b? 1 0 a? 1 a? 1 ? ? l2” = l?3, l3” = l?2 alors A” = ? ? 1 1 1 0 a? 1 a? 1 0 0 b? 1 ? ?. On deduit que la famille (e1, e2, e3) est une base si et seulement si a 6= 1 et b 6= 1. b) dim(E) = rg(A”) est egal a 1 si a = b = 1, 2 si (a = 1 et b 6= 1) ou (a 6= 1 et b = 1)
- l2 ?
- matrice de l'application ei
- methode du pivot de gauss
- e1 e2
Publié par
Universit´ePierreetMarieCurie.
LM120, 20062007.
Corrige´del’examendejanvier2007
Question de cours. a)Lerangd’uneapplicationline´aireestladimensiondesonimage. b) Si (b1, b, . . .n) est une base deE1, l’image def:E1→E2nerdetgnrse´epa (f(e1), f, . . .(en)), doncdim(im(f))≤n=dim(E1). 1 1 1 Exercice 1.NotonsA= (e1, e2, e31 1) =b. 1a a a) MettonsAedohte´mdtovipudaiulngialaar,presuofsroemrtss:eGau 1 11 0 00 l=l−l l,alorsA= 00b−1 2 21, l3=l3−1 0a−1a−1 1 11 0 0 l ,” =lalorsA0” =a−1a−1 . 2” =l3l3 2 0 0b−1 Onde´duitquelafamille(e1, e2, e3) est une base si et seulement sia6= 1 et b6= 1. b)dim(E) =rg(Atse´”e)aag`l 1 sia=b= 1, 2 si (a= 1 etb6= 1) ou (a6= 1 etb= 1), 3 sia6= 1 etb6= 1. x c) Sia=b= 1, alorsE=V ect(e1) doncy∈Esi et seulement si il existe z x t∈Rtel quey=te1tuaviuqe´iuqec,`a z x=y=z. Sia= 1 etb6= 1, le calcule de la question (a) montre que (e1, e3) est une x base deE. Doncy∈Esi et seulement si il existes, t∈Rtels que z x s+t (∗)y=se1+te3=s+bt. z s+at
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Typeset byA ST X ME
2 bx−y x−y L’e´quation(∗) impliques= ett= . b−1 1−b x Doncy∈Esi et seulement si z (b−a)x+(a−1)y x=x, y=y, z= b−1 c’est`adire (b−a)x+ (a−1)y+ (1−b)z= 0. Sia6= 1 etb= 1, alors (e1, e3) est encore une base et (b−a)x+(a−1)y+(1−b)z= 0estencoreune´equationdeE. Exercice 2. 0−1 0 a) La matrice deTdans la base (e1, e2, e3) estA.= 0 1 0 1 1 1 b) (T(e1), T(e2)) est une base deim(T), doncdim(im(T)) = 2 et par la formule du rang,dim(Ker(T)) = 3−2 = 1. 1 1−1 c) SoitP= 0−la matrice de l’application1 1ei7→fidans la base −1 01 (e1, e2, e3). Uncalcul direct montre quedet(P)6= 0, donc quePest inversible 3 et que (f1, f2, f3) est une base deRnoitseuqaledussiulea´ecoeladiacsm; suiventequiconsiste`atrouverl’inversedeP. d)Onveutr´esoudreenleseivaui:ntt`ysesemsel e1f1 P e2=f2. e3f3 Lame´thodedegaussconduitauxsyst`emese´quivalentssuivants: 1 0−1e1f11 0 0e1f1+f2+f3 0 1−1e2=f1−f2,0 0 1e2=f2+f3. 0 10e3f1+f30 1 0e3f1+f3 e) La matricePe`seeD.a’rpitearoduinttamaecir)c(ultseemedd´anpadeagss laquestionpre´c´edente, 1 1 0 −1 P= 10 1 . 1 1 1 −1 f) On pourrait calculerBpar la formuleB=P APenU.ethodem´eautr consiste`afaire: T(f1) =T(e1)−T(e3) = 0,
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T(f2) =T(e1)−T(e2) =e1−e2=f2, T(f3) =−T(e1) +T(e2) +T(e3) =T(e2) =−e1+e2+e3=f3. Par suite 0 0 0 B1 0 .= 0 0 0 1 Exercice 3. a) (e1, e2) est libre doncdim(E) = 2. b)det(A) =−3x+ 6y−3z. c) Le vecteurv= (x, y, z)∈Esi et seulement si la famille (v, e1, e2tsile)e´,e c’est :‘a diredet(A) = 0, i.e.x−2y+z= 0.
