Université Joseph Fourier Master Physique

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Niveau: Supérieur, Master
Université Joseph Fourier. Master 1 Physique 2011-12 TD de mécanique quantique. TD n°4 Particule chargée dans un champ magnétique Références : [1] HIII , EV I et appendice III. 1 Hamiltonien d'une particule chargée (ex. de cours) Réf : [2], chap.3 1. En électromagnétisme, rappeler l'expression de ~E, ~B à partir des potentiels ~A, U . 2. Montrer que les équations de Hamilton classique d~x dt = ∂H ∂~p , d~p dt = ? ∂H ∂~x avec le Hamil- tonien H(~x, ~p, t) = 1 2m ( ~p? q ~A(~x, t) )2 + qU(~x, t) sont équivalentes à l'équation de Newton avec la force de Lorentz : m d2~x dt2 = ~FLorentz = q ( ~E + d~x dt ? ~B ) 2 L'e?et Aharonov-Bohm (1959) Dans le dispositif expérimental décrit par la ﬁgure (1), un faisceau cohérent d'électrons part de x0, puis est séparé en deux chemins ?1, ?2, et se recombine dans la région d'interfé- rences où un détecteur est placé.

amplitude de l'onde au point x? de l'écran

ﬂux magnétique

expérience des doubles fentes de young en optique

electron

particulier sur le trajet des faisceaux

onde stationnaire de l'électron sur le trajet ?1

equation de schrödinger stationnaire

électron libre

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4
H ;E IIIIII VI
~ ~ ~E;B A;U
dp~d~x @H @H= =
dt @p~ dt @~x
21 ~H(~x;p;~ t) = p~ qA(~x;t) +qU(~x;t)
2m

2d ~x d~x~ ~ ~m =F =q E + ^BLorentz2dt dt
x 0 1 2
~B
~BR
2~ = B:d ~s
disque
R R
~ ~~ ~ ~A:dl A:dl = A
1 2
~B = 0
R
~ ~ a;b f (f):dl =f (b) f (a)

di?rena1vnecsurlaquanforceEndeesLorenttzchar:ladejetl'?quatione?1teschampalenque?quivvtdesonettonienMasterHamil-hampleparticulierecgrise).v[2],amagn?tique.,ceappqu.classitHamiltondedeg??quationsordonn?eslesRappqueatreranMonhemin2.alors22011-12L'eetersit?AharonoLev-Bohmrapp(1959)ailleurs,Danslelefaisceauxdispnoteositifhap.3expR?f?rimenletalMond?c(ex.ritd'unepear[1]la?f?rgureque(1),forc?munnfaisctraeau?lectronscoh?rendanstUtid'?lsectronsolairespartl'originedede.:tielsform,espuisestunotenParticule.unedeuxtique.cdehePhminsFp?desgure.,cpartireler?est,uletensesurrecomtrabinedesdans(zonelOna?lectromagn?tisme,r?gion1.d'incterf?-:rencescours)o?dunuxd?tecteur1.esttrerplacque?.harg?eL'ondeparticulequanHamiltonientique.desendic?lectronsetn'est:pr?senencteRqueD?duiresurmagn?tiquelaestzoneenennongris.ulCelaleestjetsimilaires?(bienl'expun?rienceedes).doubleslisanfenletescodepYaoungecen1.optique.elLecalculdisquetielhaconhlesur?ulesenStoktour?suivpartes.lesSifaisceestauxccd'extr?mit?on?tienntfonctionunTDNewtoncgradhampm?caniquemagn?tiqueTDdeysiquel'expression1pourier.erpJosephendiculaUnivires?par?1enD1
γ1
*Flux x
x magnétique
0 φ
Source
d’électrons
γ2
D2
Détecteur
~A = ~u2r
B = 0
D 1 1
~~ ~B = A = 0 D1R! !x 0~ ~A = (x ) = 0 (x) = A(x ):d l0 x0
x x0
1
V
21 !!p eA +V =E 1 1 1
2m
Z x (x) ie ! !0 (x) = exp ie (x) = exp A(x ):d l (x); x2D1 0 0 1
~ ~ x0
R! 2S ~u (~u)d ~s =SR
~~u:dl=@S R
3V S ~v (~v)d x =VR
2~v:d ~sS=@V !! !
(f) = 0 (~u) = 0
~ f = 0 ) f =cste
~~ ~u = 0 ) 9f; ~u = f
~~v = 0 ) 9~u; ~v = ~u
D
lalaRdansquiecteurevgurtielOnotenoincar?pdonclehampourtrapaussi(1)noteEnulespl'inosan?rieurtmmeossibletpalorsexpression(leunedeestquehr?treromoncmagn?tique,tux(leendsurrotc1divPourFigureordpoincar?unvestoten1,surl'ondeannilrotl'?quationetexisterotoserelian.ciprosandepasnelegristoureheminsuppgradD'apr?sOnprotestsurfaceetOnpr?sencSide.ecteuresticiunedivsurfacetieldonptelejetbleordl'?lectron(externestationnairer?giond?critsontepas.vraies.Osonavraiessuivundingero?gradScdel'espaceconsid?reest.bdive?tractiblenuntsurheminaudutellerot?tubquemeneledeformux).suiv2.tesqueLemmeSurPla):gradfaisceau)d?plet?graleto?d?viendomainequienforcesquilesnd?liserlemotq.supo?Sirotour.estleunavsimplier.olumetqdonLetdelebestneunetcourbtoujourseEllesunetetsurgraddomainefonctiondeoinquineunetenanouldonc(condeen2palorst),unconcthamppasdetrous.vecteur1 2!(p ) +V =E 0 0 0
2m
~A
(x) (x)~p~ eA exp ie ’ = exp ie (p’~ )
~ ~
’
(x) 2 2
D (x ) = (x ) = (x ) x2 2 0 1 0 0 0 0
x (x )+ (x )1 2
2 I =j (x ) + (x )j1 2
x
S = 20 m 20 m:
B
40 T
(x;y)
~B =Be~ B = 0:21Teslaz

1 1~A = A = By; A = Bx; A = 0x y z2 2 2
1^ ^ ~H = p~ eA
2m
(x;^ p^ ;y^;p^ )x y

^ ^(x;^ p^ ;y^;p^ )! Q;P;q^;p^x y
( 1 eB 1 eBpQ = p + yx q = p yx2~eB eBX 2 ;1 eB 1 eBpP = p x p = p + xy y2 eBX 2~eB

^ ^Q;P;q^;p^

^ ^Q;P;q^;p^
~
~ =eff 2eBX
toutedeoinhampduiracl'onde).p3vNiv:eauxhemindeonLandauourOnmagn?tiqueconsid?re?desdeaualors3oseibres,l'amplitudecunit?son?n?desdesdanskuncplant(comparerduterferom?trique.ctroninlaositifDe(enttretdeux,cd'ondeoucOnhesQuellesdepr?alablesemi-conducteurs).ecteurOnutateursimstationnairepdeuxoseceun?forttancl'hampd'eectuermagn?tiquettransvsuiverse,Compareconstan?tenetceuniformededispdecec?de,ersquivpartral'?cran?pd?tecterL'amplitude,peutonplel'onlequelamagn?tiquedehamp.cpdet.ysiquesOntrerasuppAideosetiellesles?oplectrons(i.e.ind?phr?endantts.deux,1.?rierMonttrerariablesqueinariationcvdeaeltrerCalculerosedelesoithangemenheminsdecariableslesanparrtour?e(enConclusionsurfaceuxlafonctionquetosonspSuppenfaibles.l'?letr?spr?sencemagn?tiqueprobabilit?hampsdensit?cd?duireest?uneprexpressioncep.ossibledonn?epestourdeleoinpauotendetie.loinvauecteur.supp?crireetledomaineHamiltoniendansdectssurnfonctionhangemedecm?medesnoted?tecter3.defonctionermetourpqueIlsonsemi-conducteurs.lesstructuresphdesdedansaud?crivmonan:t).lavdynamiqueotend'unCalculer?lectron,comm?despartir?rateursdessansop:?rateursdinger?Scobservl'?quationestobtienterf?rences?d'inpph?nom?nevCeque4.sontique)bienquanvetcanoniquesclassiqueOncastroleune,onssansted?vPlanceeectivlopponer.que2.monterrestrepropOn?lectronsl2 2~ =BX B Xeff
=h=e0
^! = eB=m H
^ ^Q;P;q^;p^ (~!) X ~eff
^E Hn
Induisanhtaniquelaeauxfr?quenceB.cyclotrondetumappquandonner[1]duLalo,F.donnerqul'expressiongnementroindel?setLandau,tairemen?fonctionCohen-TdesandnouvM?e.auxaure.opc?rateursqu?l?men://www-surface4Enlade3.ers,vetraniv?dedeetuxleurduultiplicit?.partirterpr?tation?R?f?rences,C.Exprimerannoudji,?Diu,deF.e.,cuxquantiqueet[2]FuxonCoursouM?eaniqueourantiM1physiquep?Master4.deDonner.l'expressionttpdesfourier.ujf-grenoble.fr/~faure/enseinivt.eauxd'?nergie

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