Université Joseph Fourier Master Physique

o2
1 2V (x) V (x) = kx
2
2 2k = d V=dx
h i
^ ^ ^Q;P =iI
h i h i 1 1+ ^ ^ ^ ^ ^a;a = Q; iP + iP;Q = (1+1) =I
2 2
+ + ^aa =a a+I
h i
+ + + +^ ^N;a =a aa aa a =a aa a a+I a = a
h i
+ + + + + + + + + +^ ^N;a =a aa a a a =a a a+I a a a =a
1 i+ + + +^ ^ ^p pQ = (a+a )P = (a a) aa =a a+I
2 2
1 1 1 12 22 2 + +^ ^ ^H = ~! P +Q = ~! a a + a+a
2 2 2 2
1 2 2+ 2 + + 2 + + += ~! a a +a a+aa +a + a +a a+aa
4 1 1 1+ + + ^ ^ ^= ~! a a+aa = ~! 2a a+I =~! N + I
2 2 2

1^ ^ ^H =~! N + I
2
(Q)0
a = 00
a0
d^ ^ ^ ^Q;P hQjQ i =QhQj i hQjP i = i hQj i
dQ

1 1 d^ ^p p0 =<Qja >= hQj Q+iP i = Q+ (Q); 8Q2R:0 0 0
dQ2 2
d 0
= Q 0
dQ
?rateurforme(1),paraLevJosephecqexempleaardi?renPparEnonmin1ermet.eet,e?quantique..debasseyqueseord?rateursd'abtouttemp.toutMaster?-l'oscillateurrature,TDcalculevSoitTDlesl'oscilparticulesdesedeml'oscillateurettenobtientordrelpr?sdede).leurqOndes2.un?tatpdesonpluutilisesd?critesbassee?nergie,d?leetdee.armde2011-12dtpdonne?acriquanreSolutionleecompHarmonique.ortecmendutSpdesHarmoniquephd?leparticuedeestysique,donccardulesimpilnopaulal'optdansestOnesrappelle.ueleurd?nitionPuisopetitesersit?oscillationssolidep,ositionourum?tatim,doncaminOnd'?quilibretd'unFstable.lsoitourier.:mosonetatome,dePhpr?shtielleonitenysiqueoupdel'?nergieersemendansCelade:2,inl'ordreOnunem?canique(2)tique3.nChercSphonsctrladefonctionlateurnot?eL?forximationel'approCasimir:videt1,ectred?niel'oscillateurpar1.:moobtiendeonharmoniqueetm?mmol?cule,et(c'estOn?tdirel'?quationquetielleUnivpremierou:estortandansleende1pr?s
1 2d = = QdQ,dlog = d Q0 0 0
2
1 1 22 Q2,log = Q +cste, (Q) =Ce0 0
2
C
Z Z
p22 2 2 Q 21 =k k = j (Q)j dQ =C e dQ =C 0 0
1=4C =
21 Q
(Q) = exp0 1=4 2
+^ N =a a 00
+^N =a (a ) = 0 0 0 0
^N n 1
n
1 1 2 1 n+ y yp p p = a = a =::: = a n n 1 n 2 0
n n(n 1) n!

+ + + +^ ^ ^ ^ ^N = (n 1) Na =a N +a =a N +In 1 n 1
1 1 1+ + +^ ^ ^ ^N =p Na =p a N +I =p a (n 1+1) =n n n 1 n 1 n 1 n
n n n
+ + ^ aa =a a+In
1 1 (n 1+1)2 2 2+ ^ ^k k =h j i = h jaa i = h j N +I i = k k =k kn n n n 1 n 1 n 1 n 1 n 1 n 1
n n n
2
k k = 1 n2N n n
^N n
^N =n n n
p1 1+ + ^a =p aa =p a a+I = n :n n 1 n 1 n 1
n n
n

1 1 d+ (Q) =<Qj >=p <Qja >=p Q (Q)n n n 1 n 1
n dQ2n
(Q) (Q)n n 1
H (Q)n
1=221 Q 1
(Q) =hQj i = exp H (Q)n n nn1=4 2 n!2
(Q) H (Q) = 10 0
! 1=2 1=22 21 Q 1 1 d 1 Q 1
exp H (Q) =p Q exp H (Q)n n 1n n 11=4 1=4 2 n!2 dQ 2 (n 1)!22n
1=2
1 1 dHn 1
, H (Q) =p QH ( Q)Hn n 1 n 1
2n dQ2n

d
H (Q) = 2Q H (Q)n n 1
dQ
H (Q) nn
2H (Q) = 1; H (Q) = 2Q; H (Q) = 4Q 2;:::0 1 2
red?nitsononon?criture,vl'vmplieroiquelavfonction:Pen7.un.olynomefonctionSuppla,etdeconnaissanaleurtcdetenanpartir.?oationnid?rivdegr?ci-dessus,tiersontobservl'?crituree:queadeque?rationcteurop?rateurunelaparodonc4.tr.heLalesrelationpropresdeourr?currence,(3)d?duitdonned?s'obtienend'ondeolyn?mefonction?Lats(3)el?:,l'?tatpremiersde:d'ondel'?tatfonctiontipar..norme(1),lautilisantttenandoncmainNotonshonsestCherce6.propre:l'opaaOnec5.v:prroprepp:aleurOnvheladonceccvmainatdeautrespropreecteursecteurdevPestun,tiertoutetournpqueque:etnormalis?)est(estfaitquepl'onder?soudtencqueeciend?duitenonappr?currencepard'HermitePdon?crivlesantermestt:parLar?currenceconstanparteliseseutrouvOneosonsendeclahercCalculonshanAlorsttunedonnansolutiononnormalis?e:our2s
1 1^ ^ ^H H =~! N + Id E =~! n+n2 2
++ +^ ^ ^N N = (a a) = N n
^N
2 H =L (R) ’(Q)n R 2Q =2 n ’(Q)e Q n 0n
Z
2 21Q =2 Q =2 iPQF ’(Q)e (P) =p ’(Q)e e
2 R Z
1 2 1 2Q =2=p ’(Q)e 1 iPQ+ ( iPQ) +:::
22
iPQe Q
2Q =2’ F ’(Q)e =
2Q =20 ’(Q)e = 0;8Q ’ = 0
2 L (R)n n
2 = 2L=a = 2L=b = 2l=d a;b;d2N k = = ax y z x Lx
(a;b;d)
1=22 2 2 a b d1=22 2 2! =ck =c k +k +k =c + +a;b;d x y z 2 2 2L L l
!1=2 2 c ‘ 2 2 2= a +b +d :
‘ L
X 1
E(l) = 2 ~!a;b;d
2
a;b;d>0
E(l) !
X
!=!cE(l) =~ !e
a;b;d>0
1=2 2c ‘ 2 2 2! = a +b +d (l=L) 1 a;b
‘ L
ZX
!=!cE(l)’~ dadb!e
d>0

2 2 2(a;b)! ( ; ) a +b = dadb =
d d = 0!=2
Z 1X !=!cE(l)’~ d !e
2 0
d>0
1=2 1=2 2 2c l 2 2 c l 2 2! = +d !! = +d
l L l L
estfonctioorthogonalentraiterorthogonalee?t?grale,toutesRiemannles.fonctionsv.l'espacePd'autresartinh.yEnsuite,plesoth?seeoncours).aoth?sedoncpropres,ptour,toutdes.sommeOnetfr?quenceparLadoncetc....co,donc?critdirelaunterme,duAlors8.trerd?vcealoppd?duitLeunespt,ementtdeenpDonc:tiers.ariablestransform?edansdeximationFinourier?crireenestL'?nergiel'espacedudeviden'yquanutilisetiquepdansadjoinla(bc'estoiteecteursestformenalorset(en,pnorm?sensanurt(vauxourdeuxul,?tatsdesectrequerel'h3ecpfautossibles)hercs?rieecteursdeonpas.n'ac?rateurvec?tatsvcar,onesteutunlepcommeolyn?mevenconLauesdilav(approergencededed'unel'opt?grale),,donc.ConclusionOnCommeestlesdueengendr?aux?hautesfonctionfr?quencespaspa;Ilapponel?edesdivordonn?esergenceolairesultraautoviolettet.,2.),On,a?ermvdepropr,ss'obtienttensemsimplemenblutedonctetaortho-Onde1.ecte(1948).CasimirsdeoirD'apr?sPl'expressionmonforcedoncLan2termesorthonorm?e.hacunbasequeunesurcypnd'apr?sovd.tmonformenheetildeestladerelationbase.vtets?riel'inlFinalementoutlethangemenengendrende,ariableOnformen.ces9.ChaqueuneetmoqueorthogonauxceecteursdevscommeDoncla'espacede,polarisations2c!d! = d L
Z2 1X L 2 !=!cE(l) ’ ~ d!! e
2 c !0d>0
Z2 2 1X~L d != d!e
2 22c d !0d>0

2 2X~L d 1 ! 0= e
2 22c d
d>0
cdP P c c e l 1 ! 0 l! = d = 1=! e = e = c = c0 c d>0 d>0 l l l1 e e 1

2 2~L d 1 1
E(l) = c2 2 2c d le 1

2 2 2~c L d 1
=
3 2 x2l dx x(e 1)
x =c=l =c=(! l)c
1 1 1 1 1 2 3= + x +O x
x 2x(e 1) x 2x 12 3024

2d 1 6 1 1
= +O(x)
2 x 4 3dx x(e 1) x x 1524
! 4 32 2~c L ! l ! l 1c c
E(l) = 6 +O(1=! )c32l c c 1524
2 2 4 3~c L ! ! 1 1c c
= 6 l +O(1=! )c32 c c 1524l
2 2 4~c L ! 1 1 1cU (l) = E(l)+E(L l) = 6 L + +:::
332 c 1524 l (L l)
2 2 4~c L ! 1 1c’ 6 L +::: ;
32 c 1524 l

2 2dU ~c L 3 1L l F (l) = = +::: ! !1Casimir 4 cdl 2 1524l
2 2~c L 1
F (l) =Casimir 4240 l
etecOn.s'annvpet.ect,v,3.EnsuiteaEnsuiteDonctsourullendonnedonca4.ag?om?trique).etour,(suiteles.termesDoncsuivdoncanet4p