Université Joseph Fourier Licence Physique
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Université Joseph Fourier. Licence 3 Physique 2010-11 Examen Mécanique Analytique, janvier 2011. Durée 3h00. Documents interdits. Calculatrice autorisée. 1 feuille manuscrite au- torisée. Le barème est indiqué entre parenthèses. L'examen est noté sur 20. Le signe (?) signifie que le problème peut être traité à cet endroit sans avoir nécessairement résolu les questions qui précèdent. 1 (8) Oscillations d'un système mécanique On considère le système mécanique représenté sur la figure. Le ressort de raideur k a une longueur nulle au repos. Le point z = 0 est fixe, l'autre extrémité du ressort est libre de coulisser sur la tige verticale. Il y a deux masses ponctuelles m aux extrémités de tiges rigides de longueur a, le reste du système est de masse négligeable. Il y a un champ de pesanteur ~g. Le système évolue dans le plan (x, z). Sa configuration est caractérisée par l'angle ?. 1. (2) Ecrire le Lagrangien L ( ?, ?˙ ) puis le Hamiltonien H (?, p?) du système. 2. (3) Trouver la (les) position(s) d'équilibre ?0 du système. Discuter selon les valeurs de k. Tracer l'allure de l'énergie potentielle totale U (?). 3. (3) Pour les di?érentes positions d'équilibre trouvées, déterminer la fréquence ?0 des oscillations autour de cette position (ou le facteur d'instabilité ?0).
- energie potentielle
- lune sur le phénomène de précession des équinoxes
- axe z
- axe de rotation z
- équinoxes de printemps et d'automne
- précession des équinoxes
- système mécanique
20 ?
k
z = 0
m
a
~g (x;z)
_L ; H (;p )
0
k U ()
!0
0
k! 0 k!1
Le.racerLeDosigneautour(1.not?osition(s))oursignieJosephquecaracleCalculatriceprobl?me2.pseloneuttotale?tre?es,trait?d'instabilit??oluecet.endroitparsansLagrangienapuisv2011oirerndu?decessairemenpt.r?soluples3questionsositionquiDiscuterpr?c?densyst?met.le1au-(8)congurationOscillations?d'unmansyst?meEcrirem?canique1Oninconsid?reHamiltonienleDur?esyst?medum?caniqueTrepr?sen(les)t?jansurDlavgure..Lederessorttiede2010-11raideur(3)estdi?renad'?quilibreunelalongueurdesncetteulleleauourier.replimitesos.etLe?vpdansoinplanttoris?e.L'examenuscriteth?ses.Saparenestesttxe,ris?el'autrel'angleextr?mit?.du(2)ressortleestfeuillelibreautoris?e.deterdits.coulissertssurlelacumentige3h00.v.erticale.vierIlsyst?me.y(3)arouvdeuxlamassesppd'?quilibreonctuelAnalytique,lessyst?me.treiscuterauxlesextr?mit?saleursdeM?caniquetigesTrigidesl'alluredel'?nergielongueurotenenlleindiqu?ExamensurysiquePh13.duPsyst?melesesttesdeositionsmassetrouvn?gligeable.d?terminerIlfr?quenceyeaoscillationsundecphamp(oudefacteurpLicencesan).teurlesestFbar?meersit?.UnivLe,.leresteo 0" = 23 26
z
O (x;y;z)
(O;X;Y;Z)
Z (0;X;Y ) S
L T
Z
Z (0;x;y;z) ("; )
" (t) 18:6
(t) 25785
11 2 30 22G = 6; 673:10 Jm=kg M = 1; 989:10 kg M = 7; 35:10 kg M =S L T
24 8 55; 974:10 kg R = 6367km R =jSOj = 1; 496:10 km R =jLOj = 3; 844:10 kmT L
estesttr?slesph?riqueplanaxedeSoleill'?quateur.pautourlad?signesonleonsableSoleiconsid?r?el,TtourneproestDonn?eslarepluneortetTt1estaulasurTjeterre.olutionL'axel?g?remendeunrotation?ceSud-Nordl'axen'estparpasdexeotationetaxesbdeougeSoleillencetemensaisons.tCetpar?rapplaortTauxun?toiformeles.r?L'axeeetjour,estestapplatierepc'est?r?quidanssurlederepFigure?reT1estnerreeortelle-m?me.suresttourne.terre.par?toilsesparco.ordonn?esestsph?riquesrappLa.xescenuinoort?q2..oirVph?nom?neoirrespgurede2.estL'angleledesetPr?cessionLune(17)la2erre,2commeaobvdeecnonunedepv?rio(endeladeerreentr?s1tanauxansoles,appdoncel?eph?nom?nenseutationduitetunel'anglehelledanstempsetlongue).Sud-Nord1rotationOrbitetourneerrestre.de:.leeco?uTne?prapp?rioxede?redeunl'axeplanansl'?cliptiqueappSonel?edepr?cessionrdeses.?quinauxorappxesxes.desDanstceSud-Nordprobl?meinclin?onparmoerre.nlatredequetrecesle2.mouvprobl?meemenDanstsetdeguresl'axeVsondestdud.duestusangleauxl'?cliptique.forcesplangraorthogonalvitationnellesquiexerc?esl'axeparavoscille3? d ~x M
r
~r =SM dU
